Математика примеры решения задач контрольной, курсовой, типовой работы
Теорема о существовании всех частных производных ФНП
Теорема о достаточных условиях дифференцируемости ФНП в точке
Дифференциалы высших порядков ФНП Пусть в области
,
, задана произвольная ФНП
,
, имеющая непрерывные частные производные первого порядка.
Формула Тейлора для ФНП записывается в дифференциальной форме по аналогии с формулой Тейлора для функции одной переменной Формула Тейлора позволяет вычислять приближенно значение функции с любой наперед заданной точностью. Погрешность может быть установлена с помощью оценки остаточного члена.
Дифференцирование сложной ФНП Сложная ФНП, как и сложная функция одного переменного, есть суперпозиция двух или нескольких функций. Информатика,
Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.
Диффенцирование неявно заданной функции
Интегрирование функций нескольких переменных ФНП
рассматривается на некотором множестве
,
,
. Пусть
; впредь для краткости такое множество
Теорема необходимое условие существования определенного интеграла
Понятие предела функции многих переменных (сокр. ФНП) вводится в предельной точке области определения функции.
Иногда удобно использовать переход от переменных
и
к полярным координатам. В частности, условие
(одновременно и независимо друг от друга) преобразуется в условие
при всяком
Многие теоремы о пределах, рассмотренные подробно для функции одной переменной (сокр. ФОП), могут быть перефразированы и доказаны для ФНП. Это прежде всего теорема об единственности предела (конечного), теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел при
, теорема "об арифметике" функций, имеющих конечные пределы при
Записать уравнение касательной плоскости к поверхности
в точке
.
Некоторые свойства интеграла ФНП
Геометрические свойства интеграла ФНП Возможное геометрическое представление интегральной суммы
функции
определяют геометрические свойства интеграла и перечень некоторых возможных задач, решаемых с помощью интеграла. Площадь части криволинейной поверхности
считается с помощью поверхностного интеграла
Некоторые механические приложения интеграла ФНП Масса фигуры (отрезка, дуги, плоской фигуры, части криволинейной поверхности, тела)
Типовые задачи Вычисление
проводится по формуле Ньютона – Лейбница, если известна какая-либо первообразная подынтегральной функции.
Вычисление площади плоской фигуры Площадь фигуры в декартовых координатах Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
и
. Площадь плоской фигуры в полярных координатах
Вычисление объема тела Вычислить объем цилиндрического тела, расположенного между плоскостями
и
и ограниченного поверхностью
и плоскостью
.
Механические приложения Пластина имеет форму прямоугольника со сторонами длиной
и
. Найти массу этой пластины, если ее плотность распределения массы в произвольной точке равна квадрату расстояния от точки до одной из вершин пластины.
Вычисление площади криволинейной поверхности.
Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом
.
Вычисление криволинейных интегралов первого рода
Длина дуги в декартовых координатах
Механические приложения Вычислить массу дуги
Вычислить момент инерции относительно плоскости дуги
Линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) называется уравнение вида
Геометрическая интерпритация СДУ в нормальной форме и ее решений
Пространство переменных
СДУ в нормальной форме называется фазовым пространством системы. Его структура может быть различной
Задача КОШИ для СДУ в нормальной форме При рассмотрении прикладной задачи, требующей решения СДУ, как правило, интересует единственное решение. Поэтому нужно уметь выделять из бесконечного множества решений СДУ требуемое решение.
Теория электрических цепей (основы электротехники)
