Процесс деформирования материалов Колебания системы с одной степенью свободы Геометрические уравнения и уравнения неразрывности

Сопромат Теории прочности Основы теории упругости и пластичности

Гаспар Монж (1746-1818). В 1798 г. опубликовал свой труд "Geometrie descriptive" ("Начертательная геометрия"), в котором разработал общую геометрическую теорию, дающую возможность на плоском листе изображать пространственные объекты и решать различные геометрические задачи с помощью этих изображений. Г. Монж первый перешёл от изучения геометрии на плоскости к глубокому исследованию геометрии в пространстве.

Процесс деформирования материалов можно условно разделить на две стадии. Начальная стадия-упругое деформирование. Компоненты тензоров напряжений и деформаций при этом связаны законом Гука. (10.18)-(10.19). Для реальных инженерных задач, связанных с определением напряженно-деформированного состояния тела, как в упругой, так и в упруго-пластической стадии деформирования, предварительно необходимо установить: во-первых, условие перехода от упругой стадии деформирования к пластической стадии и, во-вторых, установить физические зависимости во второй стадии деформирования.

 Условия перехода от упругого состояния к пластическому могут быть определены по формулам одной из гипотез предельного состояния.

  Как это было изложено в п.10.6, наиболее приемлемыми являются гипотезы максимальных касательных напряжений и энергии формоизменения. При этом, для построения соотношений пластичности гипотеза энергии формоизменения является наиболее приемлемой, согласно которой переход из упругого состояния в пластическое происходит тогда, когда величина

 (10.30)

называемая интенсивностью напряжений, достигает определенной величины, равной пределу текучести материала sT при одноосном напряженном состоянии, т.е.

si=sT. (10.31)

 С учетом физических соотношений (10.18) и (10.19) выражение (10.30) принмает вид:

si=E ei, (10.32)

где принято обозначение:

 (10.33) называемое интенсивностью деформаций.

  Следовательно, соотношение (10.32), следует рассматривать как одну из форм выражения обобщенного закона Гука.

 Выражения интенсивности напряжений и интенсивности деформаций, записанные через главные напряжения и деформации можно представить в виде:

 (10.34)

 В основу деформационной теории пластичности заложены следующие гипотезы.

Рис.10.9

 Первая гипотеза устанавливает связь между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций (рис.10.9), и гласит, что она не зависит от вида напряженного состояния, т.е.

, (10.35)

где E(ei)-является переменной величиной и зависит от значения ei. Соотношения (10.35) являются едиными для всех видов напряженного состояния.

 Согласно второй гипотезе- изменение объема  является чисто упругой. Это положение хорошо согласуется с экспериментальными данными, так как при всестороннем сжатии в материалах заметных пластических деформаций не обнаруживается.

При деформировании материалов пластические деформации, как правило, существенно больше упругих и, учитывая, что объемная деформация нe является величиной порядка упругих удлинений, поэтому принимается, что при пластическом деформировании изменение объема пренебрежительно мало.

Для трехстержневой системы (рис.10.10,а) при условии, что диаграмма растяжения для стержней имеет участок упрочнения (рис.10.10,б), при следующих исходных данных: a=30°; l=1,0м; F=210-4м2-площади поперечных сечений стержней; E=2108 кН/м2-модуль упругости материалов стержней; sT= =2,5105 кН/м2-предел упругости материала; sB=3,9105 кН/м2 - временное сопротивление; eB=0,02 -значение деформации, соответствующее напряжению sB, требуется:1.Определить абсолютные и относительные удлинения стержней и значение силы P=P1, при котором в наиболее напряженном стержне напряжения достигают предела упругости;

Определить абсолютные и относительные удлинения стержней и значение силы P=P2, при котором все элементы заданной системы переходят в пластическую стадию деформирования.

Как показали расчеты, учет пластической стадии работы позволил выявить дополнительные резервы несущей способности заданной системы, т.к. величина разрушающей силы заданной системы в действительности равна P=P3=200,97 кН.

Исключая средний стержень, система превращается из статически неопределимой в статически определимую.

Пластины и оболочки Теория тонких пластин.

Отрезок нормали к срединной поверхности при изгибе остается прямым и перпендикулярным к срединной поверхности. Это допущение носит название гипотезы прямых нормалей.

 В рассмотрим эллиптическую пластинку, жестко заделанную по контуру и нагруженную равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис.11.4). При a=1,3м, b=1,0м, h=0,18м, q=300кН/м2, g=1/6, Е=2108кН/м2, требуется: 1.Определить прогиб пластины в ее середине;

Проверим, удовлетворяет ли выбранная функция w основному дифференциальному уравнению (11.9). Вычислим частные производные .

Для построения эпюр Mx и My достаточно найти их значения в трех точках по осям эллипса, так как вдоль них эти функции имеют параболический характер изменения, для этого воспользуемся формулами (11.15) ¸ (11.17):

Прочность толстостенной цилиндрической оболочки при действии внутреннего и внешнего давлений.

Для изучения напряженного состояния выделим из цилиндра элемент в форме криволинейного шестигранника (рис.11.8).

Рассмотрим случай нагружения цилиндра только внутренним давлением, тогда принимая pв=0, из (11.21) и (11.27) получим:;

 Для толстостенной стальной трубы, имеющей внутренний диаметр d=0,03м и наружный диаметр D=0,18м, и изготовленной из пластичного материала с sT=250МПа и с коэффициентом Пуассона m=0,5, требуется: 1.Определить давление pT, при котором в материале трубы начнется пластическое деформирование;

Я.А.Севастьянов (1796-1849). Издал в 1821 г. первый русский учебник по начертательной геометрии: "Основания начертательной геометрии". Предложенная Севастьяновы терминология в целом используется и поныне. Севастьянов Я. А. - первый русский профессор по начертательной геометрии.
Геометрические уравнения и уравнения неразрывности сопромат