Сопротивление материалов наука о прочности и устойчивости элементов инженерных конструкций Общие принципы расчета конструкции Кручение бруса с круглым поперечным сечением Основные дифференциальные соотношения теории изгиба

Сопромат Теории прочности Основы теории упругости и пластичности

В окрестности точки В вырезаем элементарные параллелепипед. Поворачивая элементарный параллелепипед вокруг т.В, можно найти такое его положение, при котором на гранях действует только нормальное напряжение, а касательное будет равным 0. Теория упругости доказывает, что для любого тела при любой нагрузке для любой точки можно найти такую ориентацию параллелепипеда, и это будет единственное его положение.

Кручение бруса с круглым поперечным сечением

  Здесь под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только крутящий момент. Прочие силовые факторы, т.е. Nz,Qx,Qy,Mx,My равны нулю.

 Для крутящего момента, независимо от формы поперечного сечения бруса, принято следующее правило знаков. Если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит момент Mz направленным по часовой стрелке, то момент считается положительным. При противоположном направлении моменту приписывается отрицательный знак.

 При расчете бруса на кручение (вала) требуется решить две основные задачи. Во-первых, необходимо определить напряжения, возникающие в брусе, и, во-вторых, надо найти угловые перемещения сечений бруса в зависимости от величин внешних моментов.

 Наиболее просто можно получить решение для вала с круглым поперечным сечением (рис.4.1а). Механизм деформирования бруса с круглым поперечным сечением можно представить в виде. Предполагая, что каждое поперечное сечение бруса в результате действия внешних моментов поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое. Данное предположение, заложенное в основу теории кручения, носит название гипотезы плоских сечений.

Рис.4.1

 Для построения эпюры крутящих моментов Mz применим традиционный метод сечений-на расстоянии z от начала координат рассечем брус на две части и правую отбросим (рис.4.1,б). Для оставшейся части бруса, изображенной на рис.4.1,б, составляя уравнение равенства нулю суммы крутящих моментов SMz=0, получим:

Mz=M. (4.1)

 Поскольку сечение было выбрано произвольно, то можно сделать вывод, что уравнение (4.1) верно для любого сечения вала-крутящий момент Mz в данном случае постоянен по всей длине бруса.

 Далее двумя поперечными сечениями, как это показано на рис.4.1,а, из состава бруса выделим элемент длиной dz, а из него свою очередь двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами r и r+dr выделим элементарное кольцо, показанное на рис.4.1,в. В результате кручения правое торцевое сечение кольца повернется на угол dj. При этом образующая цилиндра АВ повернется на уголg и займет положение АВ. Дуга BВ равна с одной стороны, rdj, а с другой стороны-gdz. Следовательно,

. (4.2)

 Если разрезать образовавшуюся фигуру по образующей и развернуть (рис.4.1,г), то можно видеть, что уголg представляет собой не что иное, как угол сдвига данной цилиндрической поверхности под действием касательных напряжений t, вызванных действием крутящего момента. Обозначая

, (4.3)

где Q-относительный угол закручивания. Этот угол представляет собой угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к расстоянию между ними. Величина Q аналогична относительному удлинению при простом растяжении или сжатии стержня.

 Из совместного рассмотрения (4.2) и (4.3) и после некоторых преобразований, получим:

g=rQ. (4.4)

 Подставляя выражение (4.4) в выражение закона Гука для сдвига (2.23), в данном случае выражение касательных напряжений принимает следующий вид:

t=GQr, (4.5)

где t-касательные напряжения в поперечном сечении бруса. Парные им напряжения возникают в продольных плоскостях-в осевых сечениях. Величину крутящего момента Mz можно определить через t с помощью следующих рассуждений. Момент относительно оси z от действия касательных напряжений t на элементарной площадке dF равен (рис.4.2):

dM=trdF.

Рис.4.2

 Проинтегрировав это выражение по площади поперечного сечения вала, получим:

. (4.6)

 Из совместного рассмотрения (4.5) и (4.6) получим:

 . (4.7)

 Откуда

 . (4.8)

 Величина GIr называется жесткостью бруса при кручении.

 Из (4.8), с учетом (4.3), интегрируя полученное выражение по параметру z, получим:

 . (4.9)

 Если крутящий момент Mz и жесткость GIr по длине бруса постоянны, то из (4.9) получим:

, (4.10)

где j(0)-угол закручивания сечения в начале системы отсчета.

 Для определения выражения напряжений, возвращаясь к формуле (4.5) и исключая из него q, согласно (4.8), получим:

 t(r)=. (4.11)

 Величина  называется полярным моментом сопротивления поперечного сечения бруса в форме сплошного круга радиусом R. Определяется эта величина из следующих соображений:

 (4.12)

 Если же в брусе имеется внутренняя центральная полость радиусом r=, то для кольца

 , (4.13)

где с=.

Парные им напряжения возникают в продольных плоскостях в осевых сечениях. Величину крутящего момента Mz можно определить через t с помощью следующих рассуждений.

 Стальной валик переменного сечения, испытывающего кручение, закручивается крутящими моментами, действующими в двух крайних и двух пролетных сечениях.

Сначала определим моменты сопротивления сечения валика для каждого участка. I участок (трубчатое сечение) согласно (4.13):где ;

Построить эпюры касательных напряжений по сечениям вала, отметив на сечениях опасные точки. Касательные напряжения в точках поперечного сечения валика определяются по формулам:

Построить эпюру углов закручивания. Угол закручивания на i-ом участке вала в соответствии с (4.10) определяется:,

где-угол закручивания на правом конце (i-1)-го участка (для первого участка -начальный угол закручивания вала); li - координата начала i-го участка.

Кручение тонкостенного бруса В машиностроении, авиастроении и вообще в технике широко применяются тонкостенные стержни с замкнутыми (рис.4.7,а) и открытыми профилями (рис.4.7,б) поперечных сечений.

Далее рассмотрим брус, имеющий поперечное сечение в форме замкнутого тонкостенного профиля (рис.4.9).

Пример расчета (задача 5) Пусть задан тонкостенный стержень (рис.4.10,а) при действии самоуравновешивающих крутящих моментов на двух противоположных концах, требуется: 1.Определить выражения максимальных напряжений и углов закручивания в случаях, когда стержень имеет открытый (рис.4.10,б) и замкнутый (рис.4.10,в) профиль;

Изгиб Внутренние усилия в поперечных сечениях бруса.

Для определения внутренних силовых факторов-изгибающего момента М(z) и поперечной силы Q(z) как функций от продольной координаты z, воспользуемся методом сечений.

Такие площадки, на которых действуют нормальные напряжения, называются главными. Напряжения σ на этих площадках – главные напряжения. Направления σ – главные направления. Р – полное напряжения на рассматриваемой площадке. Если в задаче одно из главных напряжений не равно 0, то такие задачи называются одноосными или линейными. Если не равны 0 два главные напряжения – двухосные или плоские. Если не равны 0 три главные напряжения – трехосные или пространственные.
Общие принципы расчета конструкции сопромат