Соединения Активная мощность трехфазной системы Понятия  об импульсных устройствах, электронный ключ Источники электромагнитного поля Мощность, выделяемая в цепи переменного тока

Расчеты электрических цепей

Переходные процессы в линейных цепях Классический метод расчета переходных процессов. Законы коммутации и начальные условия. Расчет переходного процесса в цепи с двумя накопителями энергии. Операторный метод расчета. Расчет переходного процесса при воздействии напряжения или тока, изменяющегося по любому закону (интеграл Дюамеля).

Переменный ток

Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания можно рассматривать как протекание в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор, переменного тока. Переменный ток можно считать квазистационарным, т. е. для него мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи практически одинаковы, так как их изменения происходят достаточно медленно, а электромагнит­ные возмущения распространяются по цепи со скоростью, равной скорости света. Для мгновенных значений квазистационарных токов выполняются закон Ома и вытека­ющие из него правила Кирхгофа, которые будут использованы применительно к пере­менным токам (эти законы уже использовались при рассмотрении электромагнитных колебаний).

Рассмотрим последовательно процессы, происходящие на участке цепи, содер­жащем резистор, катушку индуктивности и конденсатор, к концам которого приложено переменное напряжение

 (149.1)

где Um — амплитуда напряжения.

1. Переменный ток, текущий через резистор сопротивлением R (L®0, C®0) (рис. 213, а). При выполнении условия квазистационарности ток через резистор опреде­ляется законом Ома:

где амплитуда силы тока Im= Um/R.

Для наглядного изображения соотношений между переменными токами и напряже­ниями воспользуемся методом векторных диаграмм. На рис. 213, б дана векторная диаграмма амплитудных значений тока Im и напряжения Um на резисторе (сдвиг фаз между Im и Um равен нулю).

2. Переменный ток, текущий через катушку индуктивностью L (R®0, C®0) (рис. 214, а). Если в цепи приложено переменное напряжение (149.1), то в ней потечет переменный ток, в результате чего возникнет э.д.с. самоиндукции (см. (126.3)) . Тогда закон Ома (см. (100.3)) для рассматриваемого участка цепи имеет вид

откуда

 (149.2)

Так как внешнее напряжение приложено к катушке индуктивности, то

 (149.3)

есть падение напряжения на катушке. Из уравнения (149.2) следует, что

после интегрирования, учитывая, что постоянная интегрирования равна нулю (так как отсутствует постоянная составляющая тока), получим

 (149.4)

где Im= Um/(wL). Величина

 (149.5)

называется реактивным индуктивным сопротивлением (или индуктивным сопротивлени­ем). Из выражения (149.5) вытекает, что для постоянного тока (w = 0) катушка индук­тивности не имеет сопротивления. Подстановка значения Um=wLIm в выражение (149.2) с учетом (149.3) приводит к следующему значению падения напряжения на катушке индуктивности:

 (149.6)

Сравнение выражений (149.4) и (149.6) приводит к выводу, что падение напряжения UL опережает по фазе ток I, текущий через катушку, на p/2, что и показано на векторной диаграмме (рис. 214, б).

3. Переменный ток, текущий через конденсатор емкостью С (R®0, L®0) (рис. 215, в). Если переменное напряжение (149.1) приложено к конденсатору, то он все время перезаряжается, и в цепи течет переменный ток. Так как все внешнее напряжение приложено к конденсатору, а сопротивлением подводящих проводов можно пренеб­речь, то

Сила тока

 (149.7)

где

Величина

называется реактивным емкостным сопротивлением (или емкостным сопротивлением). Для постоянного тока (w = 0) RС = ¥, т. е. постоянный ток через конденсатор течь не может. Падение напряжения на конденсаторе

 (149.8)

Сравнение выражений (149.7) и (149.8) приводит к выводу, что падение напряжения UС отстает по фазе от текущего через конденсатор тока I на p/2. Это показано на векторной диаграмме (рис. 215, б).

4. Цепь переменного тока, содержащая последовательно включенные резистор, ка­тушку индуктивности и конденсатор. На рис. 216, а представлен участок цепи, содер­жащий резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L и конденсатор ем­костью С, к концам которого приложено переменное напряжение (149.1). В цепи возникнет переменный ток, который вызовет на всех элементах цепи соответствующие падения напряжения UR, UL и UC. На рис. 216, б представлена векторная диаграмма амплитуд падений напряжений на резисторе (UR), катушке (UL) и конденсаторе (UC). Амплитуда Um приложенного напряжения должна быть равна векторной сумме амп­литуд этих падений напряжений. Как видно из рис. 216, б, угол j определяет разность фаз между напряжением и силой тока. Из рисунка следует, что (см. также формулу (147.16))

 (149.9)

Из прямоугольного треугольника получаем  откуда ам­плитуда силы тока имеет значение

 (149.10)

совпадающее с (147.15).

Следовательно, если напряжение в цепи изменяется по закону U = Um cos w t, то в цепи течет ток

 (149.11)

где j и Im определяются соответственно формулами (149.9) и (149.10). Величина

 (149.12)

называется полным сопротивлением цепи, а величина

– реактивным сопротивлением.

Рассмотрим частный случай, когда в цепи отсутствует конденсатор. В данном случае падения напряжений UR и UL в сумме равны приложенному напряжению U. Векторная диаграмма для данного случая представлена на рис. 217, из которого следует, что

 (149.13)

Выражения (149.9) и (149.10) совпадают с (149.13), если в них 1/(wC)=0, т.е. С=¥. Следовательно, отсутствие конденсатора в цепи означает С=¥, а не С=0. Данный вывод можно трактовать следующим образом: сближая обкладки конденсатора до их полного соприкосновения, получим цепь, в которой конденсатор отсутствует (расстоя­ние между обкладками стремится к нулю, а емкость — к бесконечности; см. (94.3)).

Операторный метод расчета переходных процессов

3.1. Краткие теоретические сведения

Сущность операторного метода. Некоторая функция вещественной переменной t, удовлетворяющая условию Дирихле (на конечном промежутке времени функция должна иметь конечное число разрывов первого рода и должна быть периодической), в момент времени ,  сопоставляется с функцией комплексной переменой  ( – комплексная переменная).

В данном случае функция вещественной переменной  называется оригиналом, а функция комплексной переменной  – изображением.

Переход от оригинала к изображению, и наоборот, осуществляется с помощью прямого  и обратного  преобразований Лапласа.

Математически можно записать, что функция  является изображением функции , следующим образом:

  или ,

а функция f(t) оригиналом F(p):

 или .

Оригинал функции можно найти и с помощью теоремы разложения. Если изображение функции представлено в виде дроби , причем многочлены (относительно р) N(p) и M(p) удовлетворяют следующим условиям: степень N(p) ниже степени M(p), ак и bk – вещественные числа, а корни р1, р2, …, рn уравнения M(p) = 0 различны, то оригинал находим по формуле , где М`(рк) – значение производной при р = рк, N(рк) – значение числителя при р = рк.

В том случае, если один из корней равен нулю, то

,

М(0) и N(0) – значение знаменателя и числителя соответственно при рк = 0.

Если имеются корни кратностью mk, то оригинал вычисляется по формуле .

Кроме вышеперечисленных способов нахождения оригинала и изображения функции, их можно определить с помощью созданных программных продуктов, таких, например, как Mathcad или с помощью специальных таблиц, которые приводятся в справочниках по высшей математике или в учебных пособиях по ТОЭ [3, 9]. Таблица оригиналов и изображений по Лапласу приводится и в данном издании (прил. 2).

При нахождении изображения (оригинала) сложной функции следует помнить, что переход от оригинала к изображению, и наоборот, осуществляется с помощью интегрального преобразования и поэтому:

,

.

Использование преобразований Лапласа при расчете переходных процессов в электрических цепях позволяет перейти от системы интегрально-дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитные процессы к системе алгебраических уравнений, что существенно упрощает процедуру нахождения искомых токов и напряжений в цепи.

Нелинейные элементы. Свойства нелинейных цепей. Методы расчета нелинейных цепей постоянного тока: графические, аналитические, численные. Магнитные цепи. Аналогия уравнений магнитных и электрических нелинейных цепей. Особенности расчета режимов нелинейных цепей переменного тока. Высшие гармоники и комбинационные колебания. Методы расчета нелинейных цепей переменного тока: графические и аналитические.
Магнитные цепи при постоянных токах