Соединения Активная мощность трехфазной системы Понятия  об импульсных устройствах, электронный ключ Источники электромагнитного поля Мощность, выделяемая в цепи переменного тока

Расчеты электрических цепей

Расчет переходного процесса при коммутациях, приводящих к образованию индуктивных сечений или емкостных контуров. Расчет переходного процесса методом переменных состояния. Способы формирования уравнений состояния. Расчет переходных процессов методом дискретных схем замещения.

Действующее значение переменного тока и напряжения

Для сравнения действий постоянного и переменного токов вводят понятие действующее значение переменного тока.

Действующее значение переменного тока численно равно такому постоянному току, при котором за время равное одному периоду в проводнике с сопротивлением R выделяется такое же количество тепловой энергии, как и при переменном токе.

Определим количество энергии, выделяемой за период в проводнике с сопротивлением R для каждого из токов и приравняем их.

li_03006.gifli_03007.gif

(2.6)

lf_03003.gif

Из (2.6) следует:

lf_03004.gif

Для любой из синусоидальных величин получаем

lf_03005.gif; lf_03006.gif.

Условились, что все измерительные приборы показывают действующие значения. Например, 220 В – действующее значение, тогда lf_03007.gif.

2.3. Элементы электрической цепи синусоидального тока

Индуктивность

Вокруг всякого проводника с током образуется магнитное поле, которое характеризуется вектором магнитной индукции В и магнитным потоком Ф:

lf_03008.gif.

Если поле образуют несколько (w) проводников с одинаковым током, то используют понятие потокосцепления ψ

(2.7)

ψ = w Ф.

Отношение потокосцепления к току, который его создает называют индуктивностью катушки

(2.8)

L = ψ / i.

При изменении во времени потокосцепления согласно закону Фарадея возникает ЭДС самоиндукции

eL = - dψ / dt.

С учетом соотношения (2.8) для eL получаем

(2.9)

eL = - L · di / dt.

Эта ЭДС всегда препятствует изменению тока (закон Ленца). Поэтому, чтобы через проводники все время тек ток, необходимо к проводникам прикладывать компенсирующее напряжение

(2.10)

uL = -eL.

Сопоставляя уравнения (2.9) и (2.10) получаем

(2.11)

uL = L · di / dt

Это соотношение является аналогом закона Ома для индуктивности. Конструктивно индуктивность выполняется в виде катушки с проводом.

Условное обозначение индуктивности

li_03008.jpg

Катушка с проводом кроме свойства создавать магнитное поле обладает активным сопротивлением R.

Условное обозначение реальной индуктивности.

li_03009.jpg

Единицей измерения индуктивности является Генри (Гн). Часто используют дробные единицы

1 мкГн = 10–6 Гн; 1 мкГн = 10–3 Гн.

Емкость

Все проводники с электрическим зарядом создают электрическое поле. Характеристикой этого поля является разность потенциалов (напряжение). Электрическую емкость определяют отношением заряда проводника к напряжению

C = Q / UC.

С учетом соотношения

i = dQ / dt

получаем формулу связи тока с напряжением

i = C · duC / dt.

Для удобства ее интегрируют и получают

(2.12)

uC = 1 / C · ∫ i dt.

Это соотношение является аналогом закона Ома для емкости.

Конструктивно емкость выполняется в виде двух проводников разделенных слоем диэлектрика. Форма проводников может быть плоской, трубчатой, шарообразной и др.

Единицей измерения емкости является фарада:

1Ф = 1Кл / 1В = 1Кулон / 1Вольт.

Оказалось, что фарада является большой единицей, например, емкость земного шара равна ≈ 0,7 Ф. Поэтому чаще всего используют дробные значения

1 пФ = 10–12 Ф, (пФ – пикофарада);
1 нФ = 10–9 Ф, (нФ – нанофарада);
1 мкФ = 10–6 Ф, (мкФ – микрофарада).

Условным обозначением емкости является символ

li_03010.gif

2.4. Основные свойства простейших цепей переменного тока

Простейшие цепи – цепи, содержащие один элемент.

1. Участок цепи, содержащий активное сопротивление (рис. 2.6).

li_03011.gif
Рис. 2.6

Зададимся изменением тока в резисторе по синусоидальному закону

i(t) = ImR sin(ωt + ψi).

Воспользуемся законом Ома для мгновенных значений тока и напряжения

u(t) = R i(t)

и получим

(2.13)

u(t) = R ImR sin(ωt + ψi).

Формальная запись синусоидального напряжения имеет вид

(2.14)

u(t) = UmR sin(ωt + ψu)

Соотношения (2.13) и (2.14) будут равны если будут выполнены условия равенства амплитуд и фаз

(2.15)

UmR = R ImR,

(2.16)

ψu = ψi.

Соотношение (2.15) может быть записано для действующих значений

(2.17)

UR = R IR.

Соотношение (2.16) показывает, что фазы напряжения и тока в резисторе совпадают. Графически это представлено на временной диаграмме (рис. 2.7) и на комплексной плоскости (рис. 2.8).

li_03013.jpgli_03012.jpg
Рис. 2.7 и 2.8

2. Участок цепи, содержащий идеальную индуктивность (рис 2.9)

li_03014.jpg
Рис. 2.9

Зададим изменение тока в индуктивности по синусоидальному закону

i(t) = ImL sin(ωt + ψi).

Используем уравнение связи между током и напряжением в индуктивности

uL = L · di / dt

и получим

uL(t) = ωL · ImL cos(ωt + ψi).

Заменим cos на sin и получим

(2.18)

uL(t) = ωL · ImL sin(ωt + ψi + 90°).

Формальная запись синусоидального напряжения имеет вид

(2.19)

uL(t) = UmL sin(ωt + ψu).

Соотношения (2.18) и (2.19) будут равны если выполняется условие равенства амплитуд и фаз

(2.20)

UmL = ωL · ImL,

(2.21)

ψu = ψi + 90°.

Уравнение (2.20) можно переписать для действующих значений

(2.22)

UL = ωL · IL.

Уравнение (2.21) показывает, что фаза тока в индуктивности отстает от фазы напряжения на 90°. Величину XL = ωL в уравнении (2.20) называют индуктивным сопротивлением. Единицей его измерения является Ом. Графически электрические процессы в индуктивности представлены на рис. 2.10, 2.11.

li_03015.jpgli_03016.jpg

Рис. 2.10 и 2.11

3. Участок цепи, содержащий ёмкость (рис. 2.12)

li_03017.gif
Рис. 2.12

Зададим изменение тока в емкости по синусоидальному закону

i(t) = ImC sin(ωt + ψi).

Используем уравнением связи между током и напряжением в емкости

uC = 1 / C · ∫ i dt,

и получим

uC = 1 / (ωC) · ImC (-cos(ωt + ψi)).

Заменим –cos на sin

(2.23)

uC = 1 / (ωC) · ImC sin(ωt + ψi - 90°).

Формальная запись синусоидального напряжения имеет вид

(2.24)

uC = UmC sin(ωt + ψu).

Соотношения (2.23) и (2.24) будут равны если выполняется условие равенства амплитуд и фаз

(2.25)

UmC = 1 / (ωC) · ImC,

(2.26)

ψu = ψi - 90°.

Уравнение (2.25) можно переписать для действующих значений

(2.27)

UC = 1 / (ωC) · IC.

Уравнение (2.26) показывает, что фаза напряжения в емкости отстает от фазы тока на 90°. Величину XC = 1 / (ωC) в уравнении (2.25) называют емкостным сопротивлением цепи и измеряют его в Омах. Графически электрические процессы в емкости представлены на рис. 2.13, 2.14.

li_03018.jpgli_03019.jpg

4.3. Ток, А, протекающий через катушку индуктивности, найдем по закону Кирхгофа для узла b

.

Самостоятельное решение студентами индивидуальных задач

Для электрических цепей (прил. 1) в соответствии с предложенным преподавателем вариантом:

1) преобразовать схему, заменив катушку индуктивности L резистором с сопротивлением r (четные варианты) или конденсатор С резистором с сопротивлением r (нечетные варианты);

2) для полученных схем частотным методом рассчитать токи в цепи и найти напряжения на катушке индуктивности (конденсаторе), если цепь подключается к синусоидальному источнику эдс, В, .

5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИКЛАДНЫХ ПАКЕТОВ ЭВМ

  ДЛЯ РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

5.1. Общие сведения

Из материала, изложенного выше, видно, что анализ работы электрических цепей при переходных процессах различными методами невозможен без знания соответствующих разделов математики. Кроме того, расчет переходных процессов – достаточно трудоемкий. Применение персональных компьютеров с использованием различных программных продуктов, с одной стороны, позволяет существенно снизить трудоемкость процесса расчета, с другой, открывает новые возможности в анализе работы электрических цепей.

Из всего разнообразия прикладных программных пакетов, позволяющих анализировать работу электрических цепей при различных режимах, авторы выбрали два: Electronics Workbench (EWB) версия 5.12 и Mathcad версии 2001.

Этот выбор неслучаен. Он связан, во-первых, с популярностью среди студентов, научно-технических работников этих программных продуктов; во-вторых, с их простотой применения; в-третьих, в Electronics Workbench можно моделировать различные процессы в электрических цепях при изменении тех или иных параметров; в-четвертых, Mathcad позволяет производить расчеты, начиная от арифметических действий и заканчивая сложными реализациями численных методов; и, в-пятых, применение Electronics Workbench и Mathcad в расчетах студенты электротехнических специальностей ДВГУПС осваивают на занятиях по информатике.

Тем, кто незнаком с правилами работы с программами Electronics Workbench и Mathcad, перед началом соответствующих занятий необходимо ознакомиться с ними по [10–13].


Рис. 2.13 и 2.14

Цепи с нелинейными индуктивностями - катушками с ферромагнитнвми сердечниками. Метод зквивалентных синусоид. Резонансные явления в нелинейных цепях. Феррорезонанс. Цепи с вентильными преобразователями. Цепи с периодически меняющимися параметрами. Переходные процессы в нелинейных цепях и методы их расчета: аналитические и численные. Метод усреднения, метод дискретных моделей.
Магнитные цепи при постоянных токах