Переходные процессы в цепях с одним реактивным элементом Преобразование энергии в электрической цепи Входное сопротивление пассивного четырехполюсника Переходный процесс в индуктивно связанных катушках

Расчеты электрических цепей

По первому закону Кирхгофа записываются q-1 независимых уравнений. Уравнение для q-го узла является следствием предыдущих (в качестве последнего - опорного целесообразно выбрать узел, в котором сходится максимальное число ветвей). По второму закону Кирхгофа записывается p-q+1 независимых уравнений для независимых контуров (отличающихся один от другого хотя бы одной ветвью).

Пример расчета переходного процесса с помощью интеграла Дюамеля

На примере схемы рис. покажем последовательность расчета переходных процессов по заданному закону изменения напряжения (рис.)

Последовательность расчета включает четыре основных этапа:

Любым из известных методов определяют переходную проводимость g(t).

Производят замену аргументов и получают g(t - τ).

По заданной функции входного напряжения определяют ее производную по t, а затем производят замену t на τ, т.е. получают u'(τ).

Параметры, найденные в пунктах 1 – 3, подставляют в формулу интеграла Дюамеля и определяют исходную функцию i(t) в переходном процессе.

 

а) b)

Рис.1.15 (a, b). Схема и график входного напряжения для расчета

переходного процесса с помощью интеграла Дюамеля

Исходные данные:

R1 = 5 Ом, R2 = 10 Ом, L = 10 мГн

Определить i1(t).

Полагаем, что на входе схемы включен источник постоянного напряжения, численно равный 1В и iL(-0)=0.

Рассчитаем i1(t) при этом условии:

i1 =i1пр+ i1св ; где i1пр= и i1св=Ae pt.

Рассчитаем переходную характеристику h(t).

Любым из известных методов определяем переходную проводимость. Расчет проведем классическим методом. Для цепи после коммутации составим систему дифференциальных уравнений, используя метод контурных токов:

  ;

где i11 = i1;

;

.

Заменим  jω на p:

;

R1R2 + R1pL + R2pL =0;

.

При t = 0 получим:

i1(0)  = i2(0) + iL(0);

;

;

.

При E = 1В получим:

;

;

u(t) = 200 - 10000t = -104 t+ 200;

 u'(t) = -104;

 u'(τ) = -104.

Итоговое решение получим в виде суммы составляющих решений на двух интервалах:

1. 0 ≤ t < t1;

2. t ≥ t1;

Производим проверку решения качественную и количественную.

Качественная: в решении должны присутствовать слагаемые, повторяющие форму подводимого напряжения, и свободная составляющая:

Количественная:

1) при t = 0;

i1(0) = 80 - 66.6 =13.4, i1(0) = 200/15 = 13.3.

2) при t ≥ t1;

.

  1.16. Частотный метод расчета переходных процессов

Данный метод базируется на известном преобразовании Фурье.

 1.16.1. Интеграл Фурье.

В случае, когда имеем периодическую несинусоидальную функцию, её можно разложить в периодический ряд Фурье:

  (1.16.1.1)

Этот ряд является дискретным, кроме того, коэффициенты Bkm, Ckm, A0 являются функциями времени. Введем дополнительную переменную τ и тогда коэффициенты ряда Фурье имеют вид:

Где τ действует в интервале [-T/2;T/2], T – основной период несинусоидальной периодической функции. Подставив коэффициенты в ряд Фурье, получим:

.

По тригонометрическим формулам преобразуем выражение в скобках и получим следующее выражение:

 ; (1.16.1.2)

Поскольку ряд дискретный, то между двумя соседними частотами всегда имеется интервал ∆ω =ω= ωk+1 – ωk, ω =2π/T;

где k – номер гармоники:

При неограниченном увеличении периода, т.е. при T →  , коэффициент A0 → 0, в итоге перейдем от периодической функции к непериодической. При этом исходное уравнение упростится и примет следующий вид

 . (1.16.1.3)

При неограниченном росте периода частотный интервал ∆ω стремится к dω и поэтому окончательное выражение примет вид

 . (1.16.1.4)

При этом ω становится не фиксированной, а текущей. Полученная формула представляет собой интеграл Фурье в тригонометрической форме.

Таким образом, от дискретного спектра частот соответствующей периодической несинусоидальной функции перешли к непрерывному спектру частот непериодической функции. Поскольку внутренний интеграл сходящийся, то есть это некоторое конечное число, то, умножая его на dω, получаем бесконечно малую величину – амплитуду на данной текущей частоте.

 1.16.2. Преобразование Фурье

Для получения искомого преобразования перепишем полученное выражение интеграла Фурье в следующем виде:

 . (1.16.2.1)

Формула (1.16.5) получена введением отрицательных частот. Они не имеют физического смысла, однако позволяют сделать запись в более симметричной форме. Прибавим к данной функции мнимый ноль, который будет задан выражением

.

 

Воспользуемся формулой Эйлера для записи функции в показательном виде:

  . (1.16.2.2)

Отдельно выделим внутренний интеграл и произведем в нем замену τ на t, что всегда возможно для определенных интегралов:

   (1.16.2.3)

Полученный интеграл представляет собой спектральную плотность функции f(t) и носит название прямого преобразования Фурье. 

Так как функция комплексная S(jω) = S(ω)ejψ(ω) , то

S(ω) – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);

Ψ(ω) – фазо- частотная характеристика (ФЧХ).

Эти характеристики показывают закон  распределения амплитуд и фаз по текущим частотам.

Если функция f(t) задана в интервале времени от 0 до t, то

.

Полученную комплексную функцию S(jω) подставим в исходный интеграл Фурье:

 , (1.16.2.4)

который называется обратным преобразованием Фурье.

Сравнение прямого преобразования Фурье и интеграла Лапласа показывает их совпадение при определенном условии.

Интеграл Лапласа:

Интеграл Фурье: 

S(jω) = F(p), (p = jω).

Использовать преобразование Фурье можно в расчетах переходных процессов. Полученное равенство показывает, что преобразование Лапласа является более мощным, чем преобразование Фурье, p – может быть любым (вещественным, комплексным, мнимым), в то время как jω – чисто мнимое число.

Из сказанного следует, что когда для функции найдено лапласово преобразование, то для получения частотного спектра достаточно р заменить на jω в этом выражении, и выделить его АЧХ и ФЧХ.

Таким образом, для расчета электрической цепи с помощью законов Кирхгофа необходимо составить столько уравнений, сколько в цепи ветвей. При выборе независимых контуров удобно использовать граф цепи (графическое представление геометрической структуры, состоящее из ветвей-линий (ребер) и узлов (вершин)).
Особенности работы нелинейных элементов в цепях синусоидального тока