Переходные процессы в цепях с одним реактивным элементом Преобразование энергии в электрической цепи Входное сопротивление пассивного четырехполюсника Переходный процесс в индуктивно связанных катушках

Расчеты электрических цепей

По первому закону Кирхгофа записываются q-1 независимых уравнений. Уравнение для q-го узла является следствием предыдущих (в качестве последнего - опорного целесообразно выбрать узел, в котором сходится максимальное число ветвей). По второму закону Кирхгофа записывается p-q+1 независимых уравнений для независимых контуров (отличающихся один от другого хотя бы одной ветвью).

Низкочастотный фильтр

Рассмотрим его работу на примере П – образной схемы (рис.2.8.1.1):

Рис.2.8.1.1. П – образный низкочастотный фильтр

Z4 = jωL; Z5 = Z6 =1/jωC;

A = 1 – ω2LC.

В полосе прозрачности коэффициент затухания обращается в ноль:

 

а = 0 → cha = 1.

Следовательно,

A = cosb;а cosb изменяется в пределах «+1» «-1», то есть: -1 ≤ A ≤ 1.

Следовательно,  –1 ≤ 1 – ω2LC ≤ 1.

Из полученного неравенства определяется граница полосы прозрачности НЧ – фильтра.

Таким образом, установили, что НЧ – фильтр пропускает все частоты от 0 до частоты среза ω0. Определим закон изменения коэффициента фазы b в зоне полосы прозрачности:

b = arccos(1 – ω2LC); 0 ≤ arccos(x) ≤ π; 0 ≤ b ≤  π.

При достижении частоты ω = ω0 коэффициент фазы, достигнув π, остается неизменным, это следует из второго уравнения системы. Таким образом, полученные соотношения позволяют качественно построить коэффициенты a и b от частоты. На левой границе зоны прозрачности при cosв = -1 угол b = . Знак угла легко проверяется построением векторной диаграммы.

Из векторной диаграммы (рис.2.8.1.2) следует, что угол в положительный, значит, на границе полосы прозрачности b = :

Рис.2.8.1.2. Векторная диаграмма НЧ-фильтра

Рис.2.8.1.3. Графики коэффициентов затухания а и фазы b

Далее рассмотрим характеристическое сопротивление ZC:

 

Для симметричного четырехполюсника

Выражение для коэффициентов В и С получили ранее:

Рис.2.8.1.4. График зависимости

характеристического сопротивления ZC от ω.

До частоты среда ω0 характеристическое сопротивление носит активный характер, а в зоне затухания – емкостной характер, учитывая, что в формуле для Zc частота ω входит в знаменатель.

 

линии с распределенными параметрами

До сих пор мы исследовали электрические цепи, содержащие сосредоточенные параметры R, L, C. Для них можно считать, что электрическое поле сосредоточено в конденсаторе, а магнитное поле в катушке индуктивности. В случае, когда энергия преобразуется в тепло, то этот элемент представлен сопротивлением, однако на практике дело обстоит иначе. Преобразование электрической энергии в неэлектрические виды энергии также сосредоточено в отдельных элементах электрической цепи. Однако встречается ряд случаев, когда такое допущение становится неприемлемым. Критерием необходимости рассматривать цепь в качестве цепи с распределенными параметрами является соотношение между интервалом времени распространения электромагнитной волны вдоль всей длины цепи и интервалом времени, в течение которого токи и напряжения изменяются на величину, составляющую заметную долю от полного их изменения в рассматриваемом процессе. Для таких цепей напряжение и токи при переходе от одного участка цепи к другому являются в общем случае не только функциями времени, но и функцией координаты такой цепи. Классическими примерами таких цепей являются ЛЭП, рабочие линии связи, управления и т.д. Для определения токов и напряжений в данных цепях необходимо считать, что любой, сколь угодно малый участок цепи обладает некоторым погонным сопротивлением R0 , индуктивностью L0, активной проводимостью G0 и емкостью C0. Все это вместе - первичные параметры линии. Такую линию называют длинной линией. Если указанные параметры распределены равномерно вдоль всей линии, то она считается однородной, хотя, строго говоря, таких линий нет. В свете изложенного изобразим участок линии длиной dx, двигаясь от начала линии к концу.

Рис.3. Участок линии с распределенными параметрами

Поскольку мгновенные токи и напряжения являются функциями двух переменных, то введем в рассуждения частные производные:

  - это скорости изменения тока и напряжения в направлении координаты x;

 - это приращение тока и напряжения в направлении координаты x.

Составим уравнение по первому закону Кирхгофа для узла:

Аналогичное уравнение составим для контура, выбрав направление обхода контура по часовой стрелке:

Раскрывая скобки, выполняя соответствующие преобразования и исключая производные второго порядка малости и сокращая все слагаемые на dx, получим следующую систему уравнений:

   (3.0)

Полученная система уравнений носит название телеграфной. При известных граничных и начальных условиях из этих уравнений можно определить значения u и i в любой момент времени и в любом сечении линии.

3.1. Работа линии в установившемся режиме

Если такая линия питается от источника синусоидального тока или напряжения, то в установившемся режиме эти напряжения и токи также синусоидальны. Переходя от мгновенных значений токов и напряжений к их комплексным изображениям, перепишем данную систему в следующем виде:

  (3.1.1)

Система содержит простые производные ввиду того, что комплексные изображения токов и напряжений не являются функциями времени, и количество переменных сократилось до одной. Это - координата длины линии, поэтому необходимость в частных производных отпала. Выполняя преобразования, можно представить систему в еще более компактном виде:

  (3.1.2)

где  - продольное сопротивление линии;

   - поперечная проводимость линий, причем

Решая систему (3.1.2) относительно напряжения или тока, получим соответствующие уравнения для тока и напряжения:

  (3.1.3)

, (3.1.4)

 

где  - постоянная распространения линии, является комплексным числом:

 ; (3.1.5)

А1 и А2 – неизвестные комплексные постоянные интегрирования, которые могут быть определены из граничных условий. Аналогичного рода рассуждения позволят записать уравнение для тока:

   . (3.1.6)

Введем понятие волнового сопротивления линии:

  (3.1.7)

Тогда 

 

Для дальнейшего анализа процессов, происходящих в длинных линиях, перейдем от комплексов напряжения и тока к их мгновенным значениям. Примем:

   (3.1.8)

Аналогичные рассуждения позволят записать и функцию тока:

  (3.1.9)

Полученные выражения показывают закон изменения тока и напряжения как функции времени и координаты длины линии. Каждое из выражений представлено двумя слагаемыми, которые представляют собой бегущие волны, движущиеся в направлении увеличения или уменьшения координаты x. Исследуем полученные соотношения на примере напряжения u(x,t) (рис.3.1.1) Пусть для некоторого момента времени t1 первое слагаемое напряжения обратится в ноль в начале линии, тогда закон распределения амплитуды вдоль длины будет иметь вид, представленный на рис. 3.1.1 в виде сплошной линии.

Рис.3.1.1. Падающая волна

Возьмем следующий момент времени t2 . Функция u(t) сместится и займет новое (пунктирное) положение. Движение волны происходит с некоторой фазовой скоростью VФ.

Рис.3.1.2. Отраженная волна

На рис. 3.1.2 аналогично представлена отраженная волна для двух моментов времени.

В реальности нет ни падающей, ни отраженной волны в линии, есть единый закон распределения токов и напряжений вдоль линии. Однако введение падающей и отраженных волн облегчает процесс расчета таких цепей. Все то же самое касается i(x,t), который также представлен суммой падающей и отраженной волны.

Таким образом, для расчета электрической цепи с помощью законов Кирхгофа необходимо составить столько уравнений, сколько в цепи ветвей. При выборе независимых контуров удобно использовать граф цепи (графическое представление геометрической структуры, состоящее из ветвей-линий (ребер) и узлов (вершин)).
Особенности работы нелинейных элементов в цепях синусоидального тока