Переходные процессы в цепях с одним реактивным элементом Преобразование энергии в электрической цепи Входное сопротивление пассивного четырехполюсника Переходный процесс в индуктивно связанных катушках

Расчеты электрических цепей

По первому закону Кирхгофа записываются q-1 независимых уравнений. Уравнение для q-го узла является следствием предыдущих (в качестве последнего - опорного целесообразно выбрать узел, в котором сходится максимальное число ветвей). По второму закону Кирхгофа записывается p-q+1 независимых уравнений для независимых контуров (отличающихся один от другого хотя бы одной ветвью).

Фазовая скорость и коэффициент распространения

Оценим скорость перемещения волн вдоль линии. Фазовой называется такая скорость, перемещаясь с которой вдоль волны, наблюдаем одну и ту же фазу. Из формулы для напряжения выделим фазу:

   (3.2.1)

Фазовая скорость в воздушных линиях близка к скорости света c = 3∙108м/с.

В кабельных линиях

,

где μ – относительная магнитная проницаемость среды, в которой распространяется электромагнитная волна, ε – относительная электрическая проницаемость среды.

Если известна фазовая скорость, можно определить длину волны:

  (3.2.2)

Понятие «длинной» и «короткой» линии весьма условно и определяется частотой питающего эту линию генератора, поэтому одна и та же линия может считаться как длинной, так и короткой.

Для линии электропередачи

.

3.3. Уравнения однородной линии в гиперболических функциях

Рассмотрим полученные ранее уравнения комплексных напряжений и тока:

;

Комплексные коэффициенты могут быть определены, если известны граничные условия в начале или конце линии. Будем полагать, что ток İ и напряжение Ů в начале линии известны. Рассчитаем ток и напряжение в любой точке линии. Определим коэффициенты А1 и А2, приняв x =0.

Найденные коэффициенты подставим в исходную систему уравнений:

Полученные уравнения можно упростить, если воспользоваться гиперболическими функциями:

  (3.3.1)

Система уравнений (3.3.1) позволяет определить напряжение и ток в любой точке линии при движении от начала к концу. Однако в том случае, если задан режим работы нагрузки Z2 , можно получить аналогичную систему уравнений для токов и напряжений при движении от конца линии к началу. Для этого х меняем на l – х:

;

.

В конце линии, т.е. при х = 0 имеем:

где 

откуда

Соответственно, введя гиперболические функции, имеем:


  (3.3.2)

Система (3.3.2) имеет важное практическое значение, так как позволяет установить связи между входными и выходными токами и напряжениями в линии при известной нагрузке. Полученные уравнения позволяют определить входное сопротивление - это такое сосредоточенное сопротивление, которым можно заменить всю линию с нагрузкой на ее конце, при этом режим работы генератора не изменится. Определим этот параметр:

Полученное уравнение показывает, что входное сопротивление линии определяется ее вторичными параметрами ZC и γ, длиной линии , а также значением нагрузки на конце линии Z2.

3.4. Нагрузочный режим работы линии

В случае, когда линия нагружена на сопротивление Z2, то в ней в общем случае существуют одновременно падающие и отраженные волны. Отношение отраженной волны тока или напряжения к падающей в конце линии называется коэффициентом отражения, который является комплексным числом:

  (3.4.1)

С помощью известного коэффициента отражения (3.4.1) нетрудно найти любую составляющую напряжения Uпрям или Uобр при одной известной составляющей волны. Отражение может произойти не только от начала или конца линии, но и от любой неоднородности в ней. Полученный результат позволяет сделать важный практический вывод, что при NU = 0 в линии существуют только прямые (падающие волны). Это так называемый согласованный режим работы линии, который возникает при условии Z2 = ZC. При этом условии отсутствуют отраженные волны напряжения и тока. Покажем это, используя составленные выше уравнения:

Аналогичного рода рассуждения можно провести для тока, получим следующие соотношения:

.

Взяв отношение напряжения к току в любом сечении линии, получим:

Определим входное сопротивление линии при согласованной нагрузке:

   (3.4.2)

Из этого следует, что линию, согласованную с нагрузкой, можно заменить некоторым сосредоточенным сопротивлением, равным ZC , при этом режим работы генератора не изменится. Входное сопротивление, как и волновое, является комплексным числом и может быть представлен в виде

Построим качественно картины указанных функций. На рис.3.4.1 представлена функция модуля входного сопротивления линии, а на рис. 3.4.2 – функция фазы входного сопротивления  в зависимости от длины линии. 

Рис.3.4.1. Зависимость модуля входного сопротивления от длины линии

С ростом длины линии модуль входного сопротивления стремится к величине волнового сопротивления линии. В пределе при бесконечно большой длине Zвх равно ее волновому сопротивлению. Это объясняется тем, что с ростом длины линии роль отраженных волн становится меньше и при бесконечной длине они вовсе отсутствуют. Такой же режим имеет место и при согласовании линии с нагрузкой, с той разницей, что в этом режиме входное сопротивление будет константой и равной ZC.

Рис.3.4.2. Зависимость фазы входного сопротивления от длины линии

Существуют точки по длине линии, где фаза обращается в ноль. Отрезки между этими соседними точками носят название резонансных участков линии.

3.5. Короткое замыкание и холостой ход линии

По режимам холостого хода и короткого замыкания линии можно определить вторичные параметры: γ и ZC;

  (3.5.1)

При коротком замыкании

   (3.5.2)

При холостом ходе

   (3.5.3)

Из соотношений (3.5.2) и (3.5.3) можно получить значение ZC :

  (3.5.4)

Зная комплексное сопротивление холостого хода и короткого замыкания, найдем:

  (3.5.6)

Коэффициенты a и b определяются по соответствующим номограммам, если известна длина линии. Входное сопротивление линии при произвольной нагрузке также можно выразить через сопротивление при холостом ходе и коротком замыкании:

.

Таким образом, для расчета электрической цепи с помощью законов Кирхгофа необходимо составить столько уравнений, сколько в цепи ветвей. При выборе независимых контуров удобно использовать граф цепи (графическое представление геометрической структуры, состоящее из ветвей-линий (ребер) и узлов (вершин)).
Особенности работы нелинейных элементов в цепях синусоидального тока