Переходные процессы в цепях с одним реактивным элементом Преобразование энергии в электрической цепи Входное сопротивление пассивного четырехполюсника Переходный процесс в индуктивно связанных катушках

Расчеты электрических цепей

По первому закону Кирхгофа записываются q-1 независимых уравнений. Уравнение для q-го узла является следствием предыдущих (в качестве последнего - опорного целесообразно выбрать узел, в котором сходится максимальное число ветвей). По второму закону Кирхгофа записывается p-q+1 независимых уравнений для независимых контуров (отличающихся один от другого хотя бы одной ветвью).

Линия без искажения

Линия без искажений представляет собой линию, вдоль которой волны всех частот распространяются с одинаковой фазовой скоростью и затухают в равной степени.

Рассматривая линию как канал передачи информации от источника к приемнику, важно знать об искажениях, которые накладываются на передаваемые сигналы. Указанные искажения имеют место, когда для различных гармонических составляющих сложного сигнала (музыка, речь) коэффициент затухания и фазы отдельных гармоник различен. В этой связи необходимо, чтобы коэффициент затухания, фазовая скорость не зависели от частоты.

Проанализируем постоянную распространения:

Введем соотношение

  (3.6.1)

тогда 

Из полученного уравнения следует, что коэффициент затухания не зависит от частоты, в то время как коэффициент фазы прямо пропорционален частоте. Условие (3.6.1) соответствует понятию линии без искажений. Таким образом,  для реализации такой линии необходимо выполнить соотношение

 

Фазовая скорость:

также не зависит от частоты.

Волновое сопротивление линии становится чисто активным:

При согласованной нагрузке энергия электрического поля равна энергии магнитного поля:

.

В реальных линиях условие (3.6.1) не выполняется, т.к.

Для выполнения этого соотношения изменяют первичные параметры линии следующим образом:

1. Уменьшают R0 за счет использования проводов большего диаметра.

2. Включают специальные корректирующие четырехполюсники.

3.7. Линии без потерь

Эффективность работы любой линии, а особенно кабельной линии связи, будет тем выше, чем меньше будет R0 и проводимость изоляции G0. Потери энергии в таких линиях снижаются и к.п.д. возрастает. В том случае, если эти потери невелики по сравнению с мощностью нагрузки, параметрами R0, G0 можно пренебречь. На частотах порядка десятков и сотен МГц ωL0>>R0 и ωС0>>G0 и тогда R0 и G0 можно пренебречь. Линия, в которой это условие выполняется, носит название линии без потерь.

Выражения для вторичных параметров упрощаются и принимают вид

.

ZC = zC – чисто вещественное число.

В этом смысле эта линия близка к линии без искажений, но отличается от нее полным отсутствием затухания. Полученный результат позволяет пересмотреть исходные уравнения, которые были получены для линии с потерями. Так как

С учетом сказанного перепишем систему уравнений для комплексов токов и напряжений в любом сечении линии:

  (3.7.1)

Как и прежде для линии без потерь можно считать, что ток и напряжение есть сумма падающих и отраженных волн. Однако в этом случае их амплитуда в любой точке линии остается неизменной. При этом входное сопротивление такой линии примет вид

 (3.7.2)

3.8. Стоячие волны в линии

Рассмотрим особенности режима работы линии без потерь в двух предельных ее режимах: холостого хода и короткого замыкания. Для режима холостого хода (I2=0) исходные уравнения для токов и напряжений упростятся и примут вид

 

  (3.8.1)

Переходя от комплексов токов и напряжений к их оригиналам, получим:

   (3.8.2)

Полученные уравнения являются произведением двух функций различных аргументов: координаты и времени.

Несмотря на отсутствие затухания в линии, можно считать, что результирующий процесс также представлен суммой падающих и отраженных волн, амплитуды которых неизменны, это и есть стоячие волны. Анализ полученных соотношений показывает, что т.к. амплитуды тока и напряжения гармонически зависят от координаты х, то существуют такие значения х, при которых мгновенный ток и напряжение обращаются в ноль. В точках, отстоящих от конца линии на расстояниях x = kπ (k =0,1,2,3,…), будут узлы тока и пучности напряжения. Пучности – это максимумы напряжения. Узлы – это точки линии, где функции обращаются в ноль. Точкам линии, где наблюдаются пучности напряжения, соответствуют узлы тока, и наоборот. На расстояниях от конца лини равных х = (2к +1)π/2, возникают узлы напряжения и пучности тока. Узлы и пучности неподвижны. Полученные выражения позволяют построить графики распределения напряжения и тока вдоль линии для различных моментов времени (рис.3.8.1). Графики напряжения построены при

Графики тока при

Рис.3.8.1. Графики тока и напряжения

Из приведенных функций следует, что, начиная от конца линии через λ/4, происходит чередование узлов и пучностей токов и напряжений. Аналогичного рода картина могла быть получена и для короткого замыкания нагрузки, единственное отличие было бы в том, что узлы и пучности тока и напряжения  поменяются местами. Кроме режимов холостого хода и короткого замыкания стоячие волны могут возникнуть в линии и при чисто реактивной нагрузке.

Рассмотрим, как меняется входное сопротивление при изменении длины линии при холостом ходе:

   (3.8.3)

Построим на примере функции Zх.х. распределение модуля входного сопротивления по ее длине (рис 3.8.2).

Рис.3.8.2. Распределение модуля входного сопротивления в режиме холостого хода по длине линии.

Входное сопротивление линии чисто реактивное, и в зависимости от координаты x может быть как индуктивным, так и емкостным.

Из рис. 3.8.2 можно сделать вывод, что отрезок линии, работающей в режиме холостого хода или короткого замыкания, представляет собой индуктивное или емкостное сопротивление. Т.к. в узлах токи или напряжения равны нулю, то и энергия в этих точках равна нулю, т.е. передача энергии от начала линии к концу не происходит. Таким образом, энергия может передаваться только с помощью бегущих волн. В стоячих волнах обмен энергией возможен между двумя соседними узлами тока и напряжения.

Таким образом, для расчета электрической цепи с помощью законов Кирхгофа необходимо составить столько уравнений, сколько в цепи ветвей. При выборе независимых контуров удобно использовать граф цепи (графическое представление геометрической структуры, состоящее из ветвей-линий (ребер) и узлов (вершин)).
Особенности работы нелинейных элементов в цепях синусоидального тока