Интегрирование функций нескольких переменных Геометрические свойства интеграла Вычисление объема тела

Математика примеры решения задач курсового расчета

Функция нескольких переменных

Пусть , ,  – множество точек из , т.е. .

Если для каждой точки ,  существует единствен­ное число , то на  (область определения) задана функция  переменных , причем множество  – множество значений функции.

При   можно записывать ;
при   соответст­венно, например, .

Для функции двух переменных  область определения расположена на плоскости , . График функции двух переменных – множество точек   –
подмножество  и иногда может быть представлен поверхностью .

 Для ,  область определения расположена в пространстве ; для представления графика функции трёх переменных требуется .

ПРИМЕР 1. Выразить объем  цилиндра, радиус которого ,
высота , через эти переменные. Указать область определения функции.

Ответ. , область определения – часть плоскости :

ПРИМЕР 2. Найти и построить область определения функции .

Ответ. Область определения:  и  (рис. 1).

.

k2 - 5 k = 0, k1 = 0, k2 = 5, yoo = C1 + C3e 5x. Степень многочлена m = 3, число 0 является корнем характеристического уравнения кратности r = 1, поэтому yчн(x) ищем в виде 

yчн(x) = x(Ax3 + Bx2 + Dx + E) = Ax4 + Bx3 + Dx2 + Ex. Тогда  

[12Ax2 + 6Bx + 2D] – 5[4Ax3 + 3Bx2 + 2Dx + E] = x3 - 2xE,

x3

x2

x

1

- 20A = 1;

12A - 15B =0;

6B - 10D = -2;

2D - 5E = 0;

A = - 1/20;

B = 4A/5 = - 1/25;

D = 3B/5 + 2/10 = - 3/125 + 2/10 = 44/250 = 22/125;

E = 2D/5 = 44/625.

Производные высших порядков. Формула Лейбница. Пусть функция   имеет производную y'(x) в каждой точке интервала (а,b). Функция y'(x) тоже может иметь производную в некоторых точках этого интервала. Производная функции y'(x) называется второй производной (или производной второго порядка) функции и обозначается .
Итегралы вычисление площади и обьема