Дифференцируемость ФНП Дифференциалы высших порядков Дифференцирование сложной ФНП Вычисление интеграла Типовые задачи Вычисление объема тела Вычисление криволинейных интегралов

Математика примеры решения задач курсового расчета

Дифференцируемость ФНП

Пусть   определена в .

ФНП   называется дифференцируемой в точке , если выполнены соотношения

,

где  – приращение вектора аргументов;  – полное приращение функции  в точке  соответственно ; .

ПРИМЕР 1. Показать по определению дифференцируемость функции  в произвольной точке . Интегрирование функций нескольких переменных. Двойной интеграл и его свойства. Метод интегральной суммы. Всякая физическая система имеет пространственные размеры и описывается набором величин, которые могут меняться при переходе от точки к точке системы. Например, тело имеет переменную плотность. Задача – вычислить общую массу тела. Решение такого типа задач и дает метод интегральной суммы.

Решение. Обозначим , , . Для произвольного  
приращение функции имеет вид 

.

Здесь вектор , функция , причем

, где ,  – соответственно углы между вектором  и осями координат .

ФНП , заданная на области , называется дифференцируемой на множестве , если она дифференцируемая в каждой точке этого множества.


Связь понятий "существование частных производных", "непрерывность" и "дифференцируемость" в точке для ФНП иная, чем для функции одной переменной, и может быть изображена в виде
следующей схемы

Рассмотрим соответствующие утверждения, предполагая , , где  – область; .

ТЕОРЕМА (о непрерывности дифференцируемой ФНП)

Если  – дифференцируемая в точке   ФНП, то она
непрерывна в точке .

Доказательство. По определению дифференцируемости ФНП в точке имеем , где .

При , т.е. при , имеем , т.е. , что подтверждает непрерывность ФНП  в точке .

Обратное утверждение неверно для ФНП, поскольку оно неверно для функции одной переменной.

Контрпример: , .

Теорема о существовании всех частных производных ФНП

Для функции  вычислить  и  и сравнить эти значения, если ; ; .

Теорема о достаточных условиях дифференцируемости ФНП в точке

Дифференциалы высших порядков ФНП Пусть в области , , задана произвольная ФНП , , имеющая непрерывные частные производные первого порядка.

Для  вычислить  и , где  и , ,  – произвольные постоянные числа.

Формула Тейлора для ФНП записывается в дифференциальной форме по аналогии с формулой Тейлора для функции одной переменной Формула Тейлора позволяет вычислять приближенно значение функции с любой наперед заданной точностью. Погрешность может быть установлена с помощью оценки остаточного члена.

Производные высших порядков. Формула Лейбница. Пусть функция   имеет производную y'(x) в каждой точке интервала (а,b). Функция y'(x) тоже может иметь производную в некоторых точках этого интервала. Производная функции y'(x) называется второй производной (или производной второго порядка) функции и обозначается .
Итегралы вычисление площади и обьема