Дифференцируемость ФНП Дифференциалы высших порядков Дифференцирование сложной ФНП Вычисление интеграла Типовые задачи Вычисление объема тела Вычисление криволинейных интегралов

Математика примеры решения задач контрольной работы

Дифференцируемость ФНП

ПРИМЕР. Для функции  вычислить  и  и сравнить эти значения, если ; ; .

Решение. Имеем ;

.

Абсолютная погрешность приближенного равенства  равна , относительная погрешность .

Рассмотренный пример демонстрирует тот факт, что для
дифференцируемой в точке   функции  справедливо приближенное равенство  с погрешностью .

 

Отсюда, в частности, имеем

,

т.е. этим соотношением функция  "линеаризована" в окрестности точки .

ПРИМЕР 3. Для  найти линейное
приближение в окрестности точки , .

Решение. Вычисляем ;

  в силу симметричного расположения переменных и их равных значений.

Итак,  или окончательно  
в окрестности точки .

  Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Общее решение y(x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения:

  y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x).

Док-во. Пусть y1(x), y2(x), …, yn(x) - фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Требуется доказать, что любое частное решение yчо(x) этого уравнения этого уравнения содержится в формуле y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn. Возьмём любую точку , вычислим в этой точке числа  и найдём постоянные C1, C2, …, Cn как решение линейной неоднородной системы алгебраических уравнений 

Такое решение существует и единственно, так как определитель этой системы равен . Рассмотрим линейную комбинацию y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) функций из фундаментальной системы решений с этими значениями постоянных C1, C2, …, Cn и сравним её с функцией yчо(x). Функции y(x) и yчо(x) удовлетворяют одному уравнению и одинаковым начальным условиям в точке x0, следовательно, по единственности решения задачи Коши, они совпадают: yчо(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + … + Cn yn(x). Теорема доказана.

 Из этой теоремы следует, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами не превышает n. Осталось доказать, что эта размерность не меньше n.

Определение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) и его решения. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов): ; (все три переменные x, y, F - действительны).
Итегралы вычисление площади и обьема