Дифференцируемость ФНП Дифференциалы высших порядков Дифференцирование сложной ФНП Вычисление интеграла Типовые задачи Вычисление объема тела Вычисление криволинейных интегралов

Математика примеры решения задач контрольной работы

Дифференциалы высших порядков ФНП

Пусть в области , , задана произвольная ФНП , , имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Полный дифференциал функции

в общем случае является функцией переменных  и
приращений , , , . Если предположить, что 1) функция  имеет непрерывные частные производные
второго порядка и 2) для любого  значения  остаются произвольными, но постоянными, то можно рассматривать полный дифференциал от , т.е.  – дифференциал второго порядка исходной функции  в точке  соответственно , , , .

Пусть ,

Тогда . Поэтому

;  – произвольные.

ПРИМЕР 1. Для функции . Найти ,  при произвольных  и .

Решение. Вычисляем последовательно частные производные  и , а затем , ; . Записываем

,

здесь можно также обозначить , .

Заметим, что если  записать в операторной форме

,

то для дифференциала второго порядка  можно использовать запись

или

,

свернув оператор формально "в квадрат суммы ".

Можно убедиться, что при соответствующих предположениях полный дифференциал третьего порядка  в операторной форме запишется 

или 

.

Например, для  (см. ранее
ПРИМЕР 1) имеем ; ; ; , т.е.

;

здесь ,   – произвольно заданные постоянные.

По аналогии можно записать

  –

полный дифференциал ""-го порядка для функции .

Для функции ,  имеем соответственно

;

;

аналогично

.

Определение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) и его решения. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов): ; (все три переменные x, y, F - действительны).
Итегралы вычисление площади и обьема