Дифференцируемость ФНП Дифференциалы высших порядков Дифференцирование сложной ФНП Вычисление интеграла Типовые задачи Вычисление объема тела Вычисление криволинейных интегралов

Математика примеры решения задач контрольной работы

Дифференциалы высших порядков ФНП

ПРИМЕР. Для  вычислить  и , где  и , ,  – произвольные постоянные числа.

Решение. Вычислим частные производные первого порядка для функции в точке : ;

; , получим ; можно взять ; ; .

Теперь найдем все частные производные второго порядка для  в точке : ; Типовой расчет Основные теоремы о пределах Курс высшей математики

;

; ;

.

Итак, ,

здесь ; ; .

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Вычислить дифференциалы ,  и , если , ,  и  – произвольные.

2. Найти ,  и  для функции  в точке  при , .

Ответы. 1. ;

;

.

2. .

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Метод вариации произвольных постоянных. Если коэффициенты уравнения постоянны, то, как следует из результатов предыдущего раздела, можно найти фундаментальную систему решений однородного уравнения, и, следовательно, применить метод вариации произвольных постоянных для решения неоднородного уравнения. Пример: найти общее решение уравнения . По теореме 14.5.9. о структуре общего решения неоднородного уравнения общее решение этого уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения.

Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения: k2 + 4 k - 5 = 0. Его корни  . Фундаментальная система решений y1(x) = e -5x, y2(x) = e x, yоо(x) = C1 e -5x + C2 ex. Ищем решение исходного уравнения в виде y(x) = C1(x) e -5x + C2(x)ex. В соответствии с методом вариации система для нахождения   будет  Решаем эту систему:  

Общее решение: (константы в окончательном ответе переобозначены).

Определение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) и его решения. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов): ; (все три переменные x, y, F - действительны).
Итегралы вычисление площади и обьема