Математика примеры решения задач курсового расчета

Функция нескольких переменных

ПРИМЕР 3. Построить схематично график функции  на множестве :

Ответ. Часть плоскости , располо­женная над прямоугольни-
ком   (рис. 2).

Для характеристики множеств , , рассмотрим свойства этих множеств, используя специальную
терминологию.

Окрестностью  радиуса  точки  является множество всех точек , удаленных от  менее
чем на , т.е.

.

Заметим, что если , , то  – согласуется с ранее рассмотренным понятием –окрестности точки на числовой оси.

Если , то , , и  есть множество всех точек круга (без границы)  или .

Если , то , , и  есть множество всех точек шара (без границы)  или.

Пусть   – множество точек из , т.е. .

Точка   – внутренняя точка множества , если существует окрестность , содержащаяся во множестве , т.е.

.

Множество  – открытое в , если каждая его точка является внутренней точкой множества .

Например, каждая точка интервала  является внутренней, если , поскольку каждая точка
интервала принадлежит ему вместе с некоторой окрестностью.
Поэтому интервал   – открытое в  множество точек . Множество  не является открытым в , так как его точка  не является внутренней.

Точка  – граничная точка множества , если в любой ее
окрестности существует точка  из множества  и существует точка , не принадлежащая множеству .

Множество всех граничных точек множества  образует границу множества  и обозначается  (читается "гамма от дэ").

Например, точки  и  – граничные для интервала , .

Окрестность  с присоединенной границей иногда называют "замкнутым шаром" и обозначают , т.е.

.

Множество  – ограниченное в , если

.

Снова ранее рассмотренное понятие "ограниченность числового множества" согласуется с введенным понятием.

Множество  – связное в , если всякие его две точки можно соединить непрерывной кривой, состоящей только из точек множества .

Всякое ограниченное связное открытое множество – область; область  вместе со своей границей  – замкнутая область.

Точка , называется предельной точкой множества , , если в любой ее окрестности существует точка ,
отличная от   и принадлежащая множеству .

Множество , , называется замкнутым в , если оно содержит все свои предельные точки.

Например,  – замкнутое в  множество,  – не является замкнутым в  множеством, поскольку  – предельная точка множества , но .

Предельная точка множества может принадлежать, а может и не принадлежать множеству.

Точка , называется изолированной точкой множества , если можно указать окрестность этой точки такую, что в ней нет других точек из множества , т.е.

.

Понятия "открытое множество" и "замкнутое множество" не
отрицают друг друга. Существуют множества открытые и замкнутые (одновременно), например множество  в , а также можно указать множества, не являющиеся ни открытыми, ни замкнутыми, например множество  в .