Дифференцируемость ФНП Дифференциалы высших порядков Дифференцирование сложной ФНП Вычисление интеграла Типовые задачи Вычисление объема тела Вычисление криволинейных интегралов

Математика примеры решения задач контрольной работы

Диффенцирование неявно заданной функции

ПРИМЕР 2. Найти частные производные функции , заданной неявно уравнением  в окрестности точки .

Решение. Можно применить формулы для  и , но в данном случае проще продифференцировать тождество, соответствующее уравнению, сначала по  (), а затем по ().
Получим 1) , откуда  и ; аналогично

2)   и отсюда .

Для нахождения производной  дифференцируем еще раз по  первое тождество (), получаем

  или , отсюда  и . В данном разделе рассматриваются такие геометрические объекты, как линии, поверхности и т.п. Исследование этих объектов заменяется исследованием их координат, представленных в виде уравнений. В начале раздела приводятся необходимые сведения из векторной алгебры.

Аналогично вычисляются другие частные производные второго и большего порядка.

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Найти , если .

2. Найти приближенное представление неявно заданной функции уравнением   в окрестности точки  до второго
порядка включительно.

3. Для функции , заданной неявно уравнением  в окрестности точки , найти .

4. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки  до членов первого порядка включительно функцию ,
заданную неявно уравнением  в
окрестности точки .

Ответы. 1. .

2. .

3. , , , , .

4. .

Сравниваем коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях и одинаковых степенях x:

x2cos2x

x cos2x

 cos2x

x2sin2x

x sin2x

 sin2x

 

-4A – 12E + 13A = 0; 9A =12E; 3A =4E;

 8E – 4B – 12A – 12F + 13B = 0;

2A + 4F – 4D – 6B – 12G + 13D = 0;

-4E + 12A + 13E =75;9E +12A =75; 3E +4A=25; 

-8A - 4F – 12E + 12B + 13F = 86;

2E - 4B - 4G - 6F + 12D + 13G =18;

Из первого и четвёртого уравнений находим

A = 4/3E, 3E + 16/3E = 25, 25/3E =25, E = 3, A = 4. Перепишем второе и четвёртое уравнения с найденными значениями  и :

9B – 12F = 12A – 8E = 24, 3B – 4F = 8,

9F + 12B = -86 + 8A + 12F = -86 + 32 + 36,

3F + 4B = -6,

 

 

Решая систему  находим 9B + 16B = 24 – 24 = 0, B = 0, F = -2. Третьё и шестое уравнения теперь примут вид , откуда D = G = 0.

Окончательно учн,1(x) = 4x2 cos 2x + (3x2 -2x ) sin 2x.

Так, функция y(x) = ex + x обращает уравнение : y(4) – y + x = 0 в тождество на всей числовой оси (y(4)(x) = ex; ex –(ex +x) + x = 0), т.е. является частным решением этого уравнения. Любое уравнение порядка  имеет множество частных решений (частным решением приведённого уравнения является и функция y(x) = sin(x) + x). Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная.
Итегралы вычисление площади и обьема