Дифференцируемость ФНП Дифференциалы высших порядков Дифференцирование сложной ФНП Вычисление интеграла Типовые задачи Вычисление объема тела Вычисление криволинейных интегралов

Математика примеры решения задач контрольной работы

Локальный экстремум ФНП

Различают несколько постановок задачи на нахождение экстремума ФНП

 (*)

в зависимости от вида множества  – множества допустимых аргументов . При этом под символом  можно понимать максимум () или минимум (), но чаще решается задача минимизации ФНП, поскольку .

Если  – область определения ФНП, то задача (*) называется задачей нахождения  ФНП без ограничений (задачей безусловного экстремума).

Пусть ФНП  задана на области ,  – внутренняя точка этой области. Тогда ФНП  имеет в точке  локальный безусловный , если существует окрестность , для всех
точек   которой приращение функции  сохраняет знак, причем  при ,  при . Курс лекций по математике Уравнение плоскости Решение дифференциальных уравнений

Необходимые условия существования локального экстремума ФНП: если в точке  ФНП  имеет локальный экстремум, то в этой точке ее частные производные либо равны нулю, либо не существуют.

Для дифференцируемой в точке экстремума функции  все частные производные , , т.е. при  . Итак, точки локального экстремума ФНП  находятся либо среди точек, в которых функция не дифференцируемая, либо среди тех, в которых дифференциал первого порядка обращается в ноль.

Достаточные условия существования локального экстремума: для дважды непрерывно дифференцируемой ФНП , если  и если  является положительно определенной (соответственно отрицательно-определенной) квадратичной формой относительно приращений независимых переменных, то в точке  функция  имеет локальный минимум (соответственно максимум).

Действительно, поскольку имеем

,

где , то интуитивно ясно, что в достаточно малой окрестности точки  – "подозрительной" точки на   – получаем

.

Для установления знакоопределенности квадратичной формы  применяется критерий Сильвестра*.

Пусть матрица  имеет главные миноры

.

Для положительной определенности квадратичной формы  необходимо и достаточно, чтобы все ее главные миноры были положительны, т.е.  .

Для отрицательной определенности квадратичной формы  необходимо и достаточно, чтобы знаки значений главных
миноров чередовались, начинаясь с отрицательного, т.е.

.

Так, функция y(x) = ex + x обращает уравнение : y(4) – y + x = 0 в тождество на всей числовой оси (y(4)(x) = ex; ex –(ex +x) + x = 0), т.е. является частным решением этого уравнения. Любое уравнение порядка  имеет множество частных решений (частным решением приведённого уравнения является и функция y(x) = sin(x) + x). Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная.
Итегралы вычисление площади и обьема