Дифференцируемость ФНП Дифференциалы высших порядков Дифференцирование сложной ФНП Вычисление интеграла Типовые задачи Вычисление объема тела Вычисление криволинейных интегралов

Математика примеры решения задач контрольной работы

Локальный экстремум ФНП

ПРИМЕР. Исследовать на локальный экстремум .

Решение. Применяя необходимые условия (сокращенно НУ), находим точки, "подозрительные" на экстремум:

НУ:   и .

Для применения достаточных условий (сокращенно ДУ) составляем  и рассматриваем его определенность в каждой
"подозрительной" на экстремум точке; имеем

 –

квадратичную форму относительно  и .
Курс лекций по математике Кривые второго порядка Решение дифференциальных уравнений

ДУ: ; матрица коэффициентов этой квадратичной формы имеет вид ; для нее , . Критерий Сильвестра не выполняется. Нужны дополнительные
исследования, их можно провести, например, следующим образом.

Пусть  – произвольная -окрестность () точки . Поскольку , то найдутся точки, принадлежащие этой окрестности, в которых  имеет значения различных знаков, например, в точке  , а в точке  имеем .

Итак, во всякой -окрестности точки  приращение функции не сохраняет знак. Это означает, что точка  не является точкой экстремума для рассматриваемой функции.

В точке   матрица коэффициентов квадратичной формы  имеет вид , для нее , . Согласно критерию Сильвестра  – положительно определенная квадратичная форма; по ДУ в точке  функция имеет локальный (безусловный) минимум, причем .

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. .

2. Исследовать на локальный безусловный экстремум функцию , заданную неявно уравнением:

а) ; б) .

Ответы. 1. ; в точках , ,  требуются дополнительные исследования.

2. а) , , здесь
НУ: , значение  находим из самого

уравнения , т.е. , . Для применения достаточных условий существования экстремума следует найти дифференциал второго порядка функции  в каждой из точек  и ;

б) ,  – отрицательно определенная квадратичная форма относительно  и .

Так, функция y(x) = ex + x обращает уравнение : y(4) – y + x = 0 в тождество на всей числовой оси (y(4)(x) = ex; ex –(ex +x) + x = 0), т.е. является частным решением этого уравнения. Любое уравнение порядка  имеет множество частных решений (частным решением приведённого уравнения является и функция y(x) = sin(x) + x). Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная.
Итегралы вычисление площади и обьема