Дифференцируемость ФНП Дифференциалы высших порядков Дифференцирование сложной ФНП Вычисление интеграла Типовые задачи Вычисление объема тела Вычисление криволинейных интегралов

Математика примеры решения задач контрольной работы

Абсолютный экстремум ФНП

Допустимая точка  называется точкой абсолютного минимума (или максимума) ФНП ,  в задаче (*), если
выполняется условие:    или  . При этом можно записывать

  или .

Задача абсолютного экстремума для ФНП формулируется аналогично этой задаче для функции одной переменной:

найти  и ,

если  – непрерывна на ,  – связная ограниченная замкнутая область.

Алгоритм решения задачи абсолютного экстремума:

1) найти все внутренние допустимые точки, "подозрительные" на
локальный экстремум; Кратные, поверхностные и криволинейные интегралы. Формулы Грина, Стокса и Остроградского Кратные интегралы двойной интеграл

2) найти допустимые точки, "подозрительные" на экстремум на
границе  множества ;

3) присоединить точки "стыка" границы ;

4) во всех выделенных точках  вычислить значения функции ; выбрать наименьшее число (или  и наибольшее
число (или ).

Сформулированная задача абсолютного экстремума всегда имеет решение. Это следует из теоремы Вейерштрасса:

если функция  – непрерывна на ограниченном замкнутом множестве , то она достигает на множестве   значений
абсолютных минимума и максимума множества .

ПРИМЕР. ,

   (см. рисунок).

Решение. 1) , . Точка  
лежит внутри области .

2) на отрезке  , , имеем ,  при . Точку  фиксируем для дальнейших рассуждений

На отрезке  , , имеем

  или ;  при , поэтому точку  также отбираем.

На отрезке  , , имеем  – не имеет точек экстремума на ;

3) точки "стыка" , ,  границы ;

4) вычисляем значение функции в отобранных точках , , получаем конечное множество чисел

.

Отсюда , .

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. , .

2. ,

.

Ответы. 1. ;

;

.

2. ; .

Так, функция y(x) = ex + x обращает уравнение : y(4) – y + x = 0 в тождество на всей числовой оси (y(4)(x) = ex; ex –(ex +x) + x = 0), т.е. является частным решением этого уравнения. Любое уравнение порядка  имеет множество частных решений (частным решением приведённого уравнения является и функция y(x) = sin(x) + x). Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная.
Итегралы вычисление площади и обьема