Дифференцируемость ФНП Дифференциалы высших порядков Дифференцирование сложной ФНП Вычисление интеграла Типовые задачи Вычисление объема тела Вычисление криволинейных интегралов

Математика примеры решения задач контрольной работы

Интегрирование функций нескольких переменных

 Понятие интеграла ФНП

Для построения интеграла ФНП  по фигуре , , используется следующая процедура построения интегральной суммы и переход к пределу.

1. Фигуру  произвольно разбиваем на  частичных фигур  той же размерности без наложений, т.е. любые две частичные фигуры, если имеют не пустое пересечение, то это множество меньшей размерности. Обозначим меру  через ,  ().

Диаметр фигуры  есть число , где  и  – произвольные точки фигуры , .

Всякое разбиение  фигуры  на  характеризуется диаметром разбиения , где . Как видно, при интегрировании иррациональных функций возможно применять различные рассмотренные выше приемы. Выбор метода интегрирования обуславливается в основном наибольшим удобством, очевидностью применения того или иного метода, а также сложностью вычислений и преобразований.

2. В каждой частичной фигуре ,  произвольно выбираем точку , ,  и вычисляем значение функции . Систему точек  обозначим через .

3. Вычисляем  и суммируем по . Тогда каждой системе  разбиения фигуры  на частичные фигуры и каждой системе  выбранных точек соответствует выражение  – интегральная сумма функции   на фигуре .

Если существует , не зависящий от  и ,

то его значение называется интегралом ФНП  по фигуре  и обозначается

.

Ищем второе частное решение, удовлетворяющее уравнению

.

Запишем правую часть как f(x) = e3x[16x cos 2x + 0 sin 2x ]. Здесь   число s0 является корнем характеристического уравнения кратности r = 1, m = max(m1, m2) = 1 (т.е. в качестве коэффициентов и при sin 2x, и при cos 2x мы должны взять многочлены первой степени), поэтому

yчн,2(x) = е3x[(Hx + I) cos 2x + (Jx + K) sin 2x] x r = [(Hx2 + Ix) cos 2x + (Jx2 + Kx) sin 2x].

Находим производные этой функции

 подставляем их в уравнение:

Сравниваем коэффициенты:

 

 

Итак,

Окончательный ответ:

Так, функция y(x) = ex + x обращает уравнение : y(4) – y + x = 0 в тождество на всей числовой оси (y(4)(x) = ex; ex –(ex +x) + x = 0), т.е. является частным решением этого уравнения. Любое уравнение порядка  имеет множество частных решений (частным решением приведённого уравнения является и функция y(x) = sin(x) + x). Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная.
Итегралы вычисление площади и обьема