Дифференцируемость ФНП Дифференциалы высших порядков Дифференцирование сложной ФНП Вычисление интеграла Типовые задачи Вычисление объема тела Вычисление криволинейных интегралов

Математика примеры решения задач контрольной работы

Интегрирование функций нескольких переменных

Теорема необходимое условие существования определенного интеграла

Если функция интегрируема (по Риману) на отрезке, то она ограничена на нем.

Доказательство. Пусть  интегрируема на , т.е. существует . Покажем ограниченность функции  на , т.е.

.

Предположим, что  не ограничена на . Тогда

.

При ,  можно построить последовательность :   и . Поэтому можно указать такое
разбиение   отрезка  и провести выбор чисел  так, что интегральная сумма  примет значение больше любого наперед заданного числа, т.е. определение определенного интеграла не выполнится. Некоторые замечательные пределы Курс лекций по математике

Итак, только для ограниченной на  функции  существует интеграл .

Заметим, однако, что не для всякой ограниченной на  функции  существует интеграл, т.е. требование ограниченности функции является НЕОБХОДИМЫМ, но не является ДОСТАТОЧНЫМ условием интегрируемости функции.

Контрпример. Пусть

Тогда для всякого разбиения  на  можно указать систему точек  такую, что   и поэтому , а также , т.е. . При  не существует единого предела для интегральной суммы, не зависящего от  
и , т.е. функция , будучи ограниченной на , не является интегрируемой (по Риману) на .

Аналогичные соображения имеют место и для  в общем случае:

если интеграл , построенный соответственно рассмотренной выше процедуре (по Риману), существует, то  –
ограниченная на   функция, т.е. только для ограниченных на  функций , , можно рассматривать указанный интеграл.

Необходимые и достаточные условия существования интеграла Римана подробно изложены, например, в [1].

Сформулируем некоторые ДОСТАТОЧНЫЕ условия существования определенного интеграла, т.е. укажем классы функций , , интегрируемых по Риману: если

либо 1)   – непрерывна на

 либо 2)  – кусочно-непрерывна и ограничена на ;

либо 3)   – монотонная или кусочно-монотонная и ограничена на , то определенный интеграл  существует (имеет конечное значение).

Впредь будем предполагать, что все рассматриваемые функции  и множества , , обладают ("хорошими") свойствами, нужными для существования интеграла .

Так, функция y(x) = ex + x обращает уравнение : y(4) – y + x = 0 в тождество на всей числовой оси (y(4)(x) = ex; ex –(ex +x) + x = 0), т.е. является частным решением этого уравнения. Любое уравнение порядка  имеет множество частных решений (частным решением приведённого уравнения является и функция y(x) = sin(x) + x). Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная.
Итегралы вычисление площади и обьема