Некоторые свойства интеграла ФНП
1. Если 
на 
, то интеграл 
равен значению
меры фигуры ,
т.е. 
, например, 
длине дуги 
; 
объему тела и т.д.
2. Вычисление интеграла функции является линейной операцией, т.е. 
,
, 
, 
,
;
предполагается
существование всех встречающихся здесь интегралов. Свойство линейности объединяет
свойства: однородность и
аддитивность по функции.
3. Аддитивность по множеству интегрирования:
если 
– интегрируема на и фигура разбита на две фигуры 
и 
так, что 
и 
– фигура меньшей размерности, то
.
Например,
,
где
. Заметим, что для определенного
интеграла написанное равенство верно и для 
; предполагается существование
входящих интегралов.
4. Сравнение интегралов:
если 
и обе функции интегрируемы на ,
то 
.
Частные случаи.
1) Оценка интеграла: если существуют числа 
и 
такие, что 
, то 
.
2) Для любой интегрируемой функции на имеет место неравенство
.
3)
Выражение 
называется средним значением интегрируемой функции ,
, на множестве .
Среднее значение на множестве непрерывной на функции , равно ее значению в некоторой точке 
фигуры .
В самом деле, если – ограниченное связное замкнутое
множество; ,
– непрерывная на функция, то можно взять 
, 
. Тогда из неравенства 
по свойствам непрерывной функции имеем
(промежуточное
значение между 
и 
достигается в некоторой точке на ).
Итак, среднее значение непрерывной
на функции
достигается в некоторой точке на .
Например, среднее значение 
на 
, равное 
, достигается в точке 
, поскольку 
и
.
Многие
теоремы о пределах, рассмотренные подробно для функции одной переменной (сокр.
ФОП), могут быть перефразированы и доказаны для ФНП. Это прежде всего теорема
об единственности предела (конечного), теорема о локальной ограниченности функции,
имеющей конечный предел при 
, теорема "об арифметике" функций,
имеющих конечные пределы при и т.д. Приемы вычисления предела ФОП также могут быть
использованы для ФНП.
Показать, что функция
непрерывна в точке 
по каждой координате 
и 
, но не является непрерывной в точке
по совокупности переменных.
Пусть
, 
,
. Частные производные первого порядка функции
вводятся соответственно соотношениям
Записать
уравнение касательной плоскости к
поверхности 
в точке 
.
имеет множество частных решений
(частным решением приведённого уравнения является и функция y(x) = sin(x) + x).
Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения,
при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании
в решение входит очередная произвольная постоянная.