Дифференцируемость ФНП Дифференциалы высших порядков Дифференцирование сложной ФНП Вычисление интеграла Типовые задачи Вычисление объема тела Вычисление криволинейных интегралов

Математика примеры решения задач контрольной работы

Вычисление интеграла ФНП.

Вычисление интеграла  рассмотрим подробно в зависимости от  и .

Вычисление определенного интеграла основано на следующих утверждениях, имеющих и самостоятельное значение. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль, с одной стороны, является призводителем, а с другой — потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Возникает довольно непростая задача расчета связи между отраслями через выпуск и потребление продукции разного вида. Впервые эта проблема была сформулирована в виде математической модели в 1936 г. в трудах известного американского экономиста В.В.Леонтьева, который попытался проанализировать причины экономической депрессии США 1929-1932 гг. Эта модель основана на алгебре матриц и использует аппарат матричного анализа.

Пусть функция  задана на , . Тогда интеграл  можно назвать "определенным интегралом с переменным верхним пределом", ,  – переменная интегрирования;
он является некоторой функцией верхнего предела, .

Теорема (о дифференцируемости  на )

Если   непрерывна на , то  дифференцируема на , причем  .

Доказательство. Пусть , : . Тогда

, здесь применено свойство о среднем значении непрерывной на  функции ,  – точка, расположенная между  и .

Далее рассмотрим отношение  при , получаем

.

Поскольку  – произвольная точка отрезка , то  
существует для каждого   из , т.е.  – дифференцируемая на  и

.

Замечания.  1. Из представления  следует
непрерывность   в точке  и в силу произвольности точки   – непрерывность  на .

Можно показать [1], что для непрерывности функции  достаточно потребовать интегрируемость (по Риману) подынтегральной функции  на .

 Геометрический смысл уравнения первого порядка. Уравнение (6) в каждой точке (x, y) области D, в которой задана функция f(x, y), определяет   - угловой коэффициент касательной к решению, проходящему через точку (x, y), т.е. направление, в котором проходит решение через эту точку. Говорят, что уравнение (6) задаёт в D поле направлений. График любого решения дифференциального уравнения (называемый также интегральной кривой) в любой своей точке касается этого поля, т.е. проходит в направлении, определяемом полем.
Итегралы вычисление площади и обьема