Дифференцируемость ФНП Дифференциалы высших порядков Дифференцирование сложной ФНП Вычисление интеграла Типовые задачи Вычисление объема тела Вычисление криволинейных интегралов

Математика примеры решения задач контрольной работы

Вычисление интеграла ФНП.

Типовые задачи

ПРИМЕР . Вычислить интеграл . Теорема сложения вероятностей Несовместные события Определение Суммой двух событий А и В называют событие С = А + В, которое состоит в появлении либо события А, либо события В, либо событий A и В одновременно. Это определение напоминает сумму множеств (см. гл. 1) и используется в теоретико-множественном подходе теории вероятностей. Примеры суммы событий: произведены два выстрела, и события А и В — попадания при первом и втором выстрелах соответственно; тогда А + В — попадание либо при первом выстреле, либо при втором, либо в обоих выстрелах. Если события А и В несовместные, то их сумма — это событие, состоящее в появлении какого-либо из этих событий.

Решение. Введем замену переменной , где , ; ; ;  на ; , .

Получаем

.

2) Среднее значение интеграла, оценка интеграла

ПРИМЕР 3. Для криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми  и , кривой , найти равновеликий прямоугольник с основанием  на .

Решение. Высотой такого прямоугольника является отрезок длиной

.

ПРИМЕР 4. Оценить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция  – убывающая на , поскольку  на . Поэтому  и . Точное значение интеграла можно найти, но вычисления сопровождаются громоздким счетом:

  или .

Откуда

.

Видим, что полученная оценка интеграла является грубой,
поскольку промежуток интегрирования  "достаточно велик".

 Примеры: 1. Найти общее решение уравнения .

Решение: характеристическое уравнение k2 - 5 k + 6 = 0, его корни k1 = 2, k2 = 3, yoo = C1e 2x + C3e 3x. Степень многочлена m = 3, число 0 не является корнем характеристического уравнения (r = 0), поэтому yчн(x) ищем в виде многочлена третьей степени с неопределёнными коэффициентами: yчн(x)= xr Rm(x) = Ax3 + Bx2 + Dx + E. Тогда ; подстановка этих выражений в уравнение даст [6Ax + 2B] – 5[3Ax2 + 2Bx + D] + 6[Ax3 + Bx2 + Dx + E] = x3 – 2x. Приводим подобные члены: 6Ax3 + [-15A + 6B] x2 + [6A – 10B + 6D]x + [2B – 5D +6E] = x3 – 2x. Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях :

x3

x2

x

1

6A = 1;

- 15A + 6B =0;

6A – 10B + 6D = -2;

2B – 5D + 6E = 0;

A = 1/6;

B = 15A/6 = 5/12;

D = 5B/3 – A – 1/3 = (25 – 6 – 12)/36 = 7/36;

E = 5D/6 – B/3 = 35/216 – 5/36 =(35 – 30)/216 = 5/216.

 

Итак,

 Геометрический смысл уравнения первого порядка. Уравнение (6) в каждой точке (x, y) области D, в которой задана функция f(x, y), определяет   - угловой коэффициент касательной к решению, проходящему через точку (x, y), т.е. направление, в котором проходит решение через эту точку. Говорят, что уравнение (6) задаёт в D поле направлений. График любого решения дифференциального уравнения (называемый также интегральной кривой) в любой своей точке касается этого поля, т.е. проходит в направлении, определяемом полем.
Итегралы вычисление площади и обьема