Интегрирование функций нескольких переменных Геометрические свойства интеграла Вычисление объема тела

Математика примеры решения задач контрольной работы

Вычисление интеграла ФНП.

Типовые задачи

Вычисление объема тела

Пусть в пространстве задано тело, проекцией которого на ось  является отрезок  и при любом , , известно значение площади "поперечного" сечения тела плоскостью  . Тогда объем этого тела можно получить, переходя от интегральной суммы  к
интегралу .

Здесь , ,  – разбиение  отрезка  на частичные отрезки  с длинами , , ;  – произвольно выбираемые точки на

Представим на рисунке область  и выберем способ счета.
Поскольку переход к явному заданию границы фигуры затруднен,
а кроме того, есть комбинация переменных , то разумно
перейти к полярным координатам  Получим  или  – уравнение лемнискаты (см. в 7.7.1 пример 7). Используя симметрию фигуры, вычисляем площадь .

ПРИМЕР 5. Вычислить площадь фигуры , ограниченной кривыми , , ,  при .

Решение.

.

. .

k4 - 5 k2 = 0, k2 (k2 - 5) = 0, k1,2 = 0, , . Степень многочлена m = 3, число 0 является корнем характеристического уравнения кратности r = 2, поэтому yчн(x) ищем в виде yчн(x) = x2(Ax3 + Bx2 + Dx + E) = Ax5 + Bx4 + Dx3 + Ex2. Тогда

x3

x2

x

1

- 100A = 1;

 60B =0;

120A - 30D = -2;

24B - 10E = 0;

A = - 1/100;

B = 0;

D = 4A/5 + 2/30 = - 4/100 + 2/30 = 8/300 = 2/75;

E = 24B/10 = 0.

 

Если , то частное решение ищется в виде , если число  не является корнем характеристического уравнения, и в виде , если число  - корень характеристического уравнения кратности r. Rm(x) - многочлен степени m с неопределёнными коэффициентами.

Это правило следует из общего, если записать  в виде . В этом случае , поэтому .

 Геометрический смысл уравнения первого порядка. Уравнение (6) в каждой точке (x, y) области D, в которой задана функция f(x, y), определяет   - угловой коэффициент касательной к решению, проходящему через точку (x, y), т.е. направление, в котором проходит решение через эту точку. Говорят, что уравнение (6) задаёт в D поле направлений. График любого решения дифференциального уравнения (называемый также интегральной кривой) в любой своей точке касается этого поля, т.е. проходит в направлении, определяемом полем.
Итегралы вычисление площади и обьема