Дифференцируемость ФНП Дифференциалы высших порядков Дифференцирование сложной ФНП Вычисление интеграла Типовые задачи Вычисление объема тела Вычисление криволинейных интегралов

Математика примеры решения задач типового расчета

Вычисление интеграла ФНП.

Типовые задачи

ПРИМЕР 3. Вычислить интеграл , где   – шаровое кольцо .

Решение. Переходим к сферическим координатам

.

Заметим, что эта задача может иллюстрировать нахождение массы шарового кольца с заданной функцией плотности распределения массы в нем. Сложная функция. Правила дифференцирования функции.

Типовые задачи

1) Вычисление тройных интегралов (см. примеры 1 – 3).

2) Объем тела ;

среднее значение функции  на теле .

ПРИМЕР 4. Найти среднее значение функции  на фигуре, ограниченной поверхностями  и .

Решение. Среднее значение функции находим по формуле

,

где  – объем тела.

Сначала вычислим объем фигуры; она ограничена снизу конусом  и сверху – сферой ; проекция на плоскость  есть круг . Поэтому объем фигуры
равен значению тройного интеграла

.

Затем вычислим

  и .

3) Механические приложения тройного интеграла (см. пример 3).

ПРИМЕР 5. Найти центр тяжести – точку  – цилиндра  :  если плотность  распределения массы в каждой его точке равна квадрату расстояния от точки до плоскости .

Решение. В силу симметрии тела и функции  имеем , где  – масса тела.

Находим ее:

  (считаем в цилиндрических
координатах).

Поскольку статический момент

,

то .

Итак, .

Пример: решить задачу Коши  Как и в предыдущем примере, это уравнение не попадает ни под один из рассмотренных типов: оно не является ни уравнением с разделяющимися переменными (наличие суммы x2 + y), ни уравнением с однородной правой частью (слагаемые разных порядков - первого и второго в этой сумме), ни линейным, ни Бернулли (другая структура
Итегралы вычисление площади и обьема