Кривая линия общего вида Комплексный чертеж Законы проекционной связи Поверхность вращения Пересечение геометрических фигур Построить сечение пирамиды Метод концентрических сфер

Математика примеры решения задач типового расчета

ПРИМЕР 2. Зададим область  примера 1, проектируя ее на ось ,  Вычислить повторный интеграл .

Решение.

.

Замечаем, что значения различных повторных интегралов
функции по области оказались равными. Поверхностный интеграл первого рода Пусть f(x,y,z) - функция, непрерывная на гладкой поверхности S. (Поверхность называется гладкой, если в каждой её точке существует касательная плоскость, непрерывно изменяющаяся вдоль поверхности).

Доказано (см. [1]) утверждение:

если  непрерывна на , ; область  является
правильной в направлении осей координат, то значение двойного интеграла  совпадает со значением соответствующего повторного интеграла, причем результат не зависит от порядка
интегрирования, т.е.

.

Замена переменных в двойном интеграле

Пусть на плоскости  задана область , заданы функции  отображающие область  в область  на плоскости  (см. рисунок), причем точке  соответствует точка , частичные прямоугольники в  отображаются в криволинейные
четырехугольники в плоскости .

Предположим, что преобразование  является непрерывным, дифференцируемым и взаимно обратным. Тогда можно найти функции  определяющие обратное преобразование области  в область , которые являются также непрерывными и дифференцируемыми, если не обращается в ноль определитель Якоби (якобиан) , причем абсолютная величина якобиана  задает коэффициент
искажения преобразования  и .

Поэтому при замене переменных  с указанными свойствами в двойном интеграле следует применять формулу

.

Например, для перехода к полярным координатам  якобиан , и поэтому при переходе к полярным координатам в двойном интеграле имеем

,

здесь  – образ области   рассматривается в полярных координатах.

Итак, для вычисления двойного интеграла нужно задать
область интегрирования неравенствами и перейти к повторному интегралу.

 Интегрирование дифференциального уравнения геометрически означает нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением поля. На рисунке справа изображено поле направлений, определяемое уравнением , и три интегральные кривые (три частных решения) этого уравнения. Решение можно провести через любую точку области D; единственное решение можно выделить, если задать точку, через которую проходит интегральная кривая: .
Частный случай теоремы Г.Монжа