Кривая линия общего вида Комплексный чертеж Законы проекционной связи Поверхность вращения Пересечение геометрических фигур Построить сечение пирамиды Метод концентрических сфер

Математика примеры решения задач типового расчета

ПРИМЕР. Решить ДУ .

Решение. ДУ неполное (отсутствует ); воспользуемся заменой , ; получаем  или ,
поэтому    

.

Рассматриваемое ДУ можно решить проще: преобразуем его к равенству двух точных производных

  . Вычислить массу поверхности S с распределённой плотностью = 4- z.

ПРИМЕР 8. Решить ДУ .

Решение. ДУ полное, левая часть его – функция, однородная относительно  при . Поэтому полагаем , или , ; получаем , или   

– общее решение; тривиальное решение  не является частным решением.

Заметим, что для  ДУ можно преобразовать к равенству  и далее, как в предыдущем способе.

  Теорема Пусть y1(x), y2(x), …, yn(x) - частные решения линейного однородного дифференциального уравнения. Если определитель Вронского этой системы функций равен нулю в некоторой точке , то система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависима, и её определитель Вронского тождественно равен нулю на (a, b).

 Док-во. Пусть . Тогда однородная система линейных алгебраических уравнений, для которой W(x0) является определителем,

 

имеет нетривиальное решение относительно C1, C2, …, Cn. Рассмотрим линейную комбинацию функций y1(x), y2(x), …, yn(x) с этими коэффициентами C1, C2, …, Cn: y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ + Cn yn(x). Эта функция удовлетворяет уравнению (25) и, как следует из приведённой выше системы, имеет нулевые начальные условия в точке x0, т.е. является решением задачи Коши

 ,

 

Этой же задаче Коши удовлетворяет и функция y(x) = 0, тождественно равная нулю на интервале (a, b). Вследствие единственности решения задачи Коши y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) = 0 для любого . Таким образом, система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависима на (a, b), и по Теореме 14.5.4 о вронскиане линейно зависимой системы её определитель Вронского тождественно равен нулю на (a, b).

 Интегрирование дифференциального уравнения геометрически означает нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением поля. На рисунке справа изображено поле направлений, определяемое уравнением , и три интегральные кривые (три частных решения) этого уравнения. Решение можно провести через любую точку области D; единственное решение можно выделить, если задать точку, через которую проходит интегральная кривая: .
Частный случай теоремы Г.Монжа