Кривая линия общего вида Комплексный чертеж Законы проекционной связи Поверхность вращения Пересечение геометрических фигур Построить сечение пирамиды Метод концентрических сфер

Математика примеры решения задач типового расчета

Теория линейных ДУ

Утверждение 3. Пространство  имеет размерность , его "базис" состоит из  линейно независимых элементов из . Произвольное решение ОЛДУ  может быть "разложено" (представлено)
через линейно независимых решений этого ДУ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (линейно зависимой системы функций)

Система функций  называется линейно
зависимой на , если можно указать "ненулевой" набор чисел , такой, что  на , т.е.

 : . (6)

В противном случае система функций является линейно независимой. Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода по внешней боковой стороне цилиндра , лежащей в первом октанте и ограниченной плоскостями х = 0,5,  х = 1, у =0,5, причём 0,5 < х < 1, у > 0,5.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (линейно независимой системы функций)

Система функций ,  называется линейно
независимой на , если

, , : , (7)

т.е. выполнение тождества  влечет свойство
набора чисел   быть нулевыми, .

ПРИМЕР 9. Показать, что система степенных функций  –
линейно независимая на   система функций.

Решение. Рассмотрим , где  – набор чисел. Поскольку многочлен  может иметь не более  действительных нулей, то тождество  возможно лишь при . Итак, по определению  –
линейно независимая система функций, .

Характер системы  раз дифференцируемых функций , , можно установить с помощью свойств определителя Ю. Вронского (1776 – 1853) (вронскиана)

, .

 Интегрирование дифференциального уравнения геометрически означает нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением поля. На рисунке справа изображено поле направлений, определяемое уравнением , и три интегральные кривые (три частных решения) этого уравнения. Решение можно провести через любую точку области D; единственное решение можно выделить, если задать точку, через которую проходит интегральная кривая: .
Частный случай теоремы Г.Монжа