Кривая линия общего вида Комплексный чертеж Законы проекционной связи Поверхность вращения Пересечение геометрических фигур Построить сечение пирамиды Метод концентрических сфер

Математика примеры решения задач типового расчета

Теория линейных ДУ

Поскольку понятия линейной зависимости и независимости системы решений ОЛДУ  отрицают друг друга, то теперь можно сформулировать критерий линейной независимости системы решений ,  ОЛДУ.

ТЕОРЕМА (необходимое и достаточное условия линейной независимости системы решений ОЛДУ)

Пусть   – система решений ОЛДУ  на . Тогда

.

Утверждения () и () проверяются рассуждениями от противного на основе теорем о необходимом и достаточном условиях линейной зависимости системы решений ОЛДУ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (ФСР ОЛДУ )

Всякая линейно независимая система  решений ОЛДУ  называется фундаментальной системой решений (ФСР) этого ДУ . Найти формулу вычисления объема шара. В поперечных сечениях шара (сечения параллельны плоскости XOY) получаются окружности. Уравнение шара имеет вид:

Всякое ОЛДУ имеет бесконечное множество ФСР, каждая из них соответствует некоторой системе  линейно независимых векторов (базису) в .

ТЕОРЕМА (о структуре общего решения ОЛДУ)

Если ,  – какая-либо ФСР ОЛДУ , то общее решение этого ДУ есть линейная комбинация данных решений с произвольными постоянными , т.е.

. (11)

Доказательство. 1)  – решение ОЛДУ на , поскольку по свойствам ОЛДУ  на ;

2) для допустимого произвольного НУ:

,,, при  имеем

  – (12)

систему линейных уравнений относительно  с определителем , так как  – линейно независимая система
решений на . Поэтому существует единственное
решение   системы (12).

Итак,  – решение ОЛДУ, причем для всякого
допустимого НУ существует единственный набор значений произвольных постоянных, такой, что решение , , удовлетворяет взятому НУ. По определению  – общее решение ДУ .

Замечание. Универсального метода нахождения ФСР для ОЛДУ общего вида нет. Для ОЛДУ п/к можно находить ФСР по корням характеристического уравнения (см. далее).

Иногда (в частности, для ОЛДУ второго порядка) полезно
утверждение:

если для  известно одно решение , ,
то замена переменной

  (13)

сохраняет линейность и однородность ДУ и понижает его порядок.

В самом деле, например, для  имеем , ,  и после подстановки в исходное ДУ получаем ОЛДУ первого порядка , которое может быть решено как ДУ с разделяющимися переменными. Решив его, берем .

 Интегрирование дифференциального уравнения геометрически означает нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением поля. На рисунке справа изображено поле направлений, определяемое уравнением , и три интегральные кривые (три частных решения) этого уравнения. Решение можно провести через любую точку области D; единственное решение можно выделить, если задать точку, через которую проходит интегральная кривая: .
Частный случай теоремы Г.Монжа