Кривая линия общего вида Комплексный чертеж Законы проекционной связи Поверхность вращения Пересечение геометрических фигур Построить сечение пирамиды Метод концентрических сфер

Математика примеры решения задач типового расчета

Итак, для нахождения общего решения НЛДУ нужно:

найти ФСР соответствующего ОЛДУ;

найти (подобрать, угадать и т.д.) какое-либо решение НЛДУ;

сложить общее решение ОЛДУ и решение НЛДУ.

Для вычисления  – решения НЛДУ можно применить
метод вариации произвольных постоянных, если известна ФСР ОЛДУ.

Пусть ,  – ФСР ОЛДУ. Тогда ищем  в виде , произвольные постоянные  "варьируются" (предполагаются функциями) в записи общего решения
ОЛДУ. Указать вид частного решения дифференциального уравнения 

Для нахождения  функций , имеем одно уравнение – оно получится после подстановки  в НЛДУ, поэтому   соотношений, связывающих , можем выбрать предварительно. Удобно предположить ; и тогда ; затем предполагаем, что ; и тогда , и т.д. Окончательно будем иметь  

.

После перегруппировки слагаемых получаем  или .

Итак, для нахождения  нужно решить систему
линейных уравнений

с определителем .

Переход от  к  реализуется интегрированием.

 Теорема о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального равнения. Любое линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с непрерывными коэффициентами имеет фундаментальную систему решений, т.е. систему из n линейно независимых решений.

 Док-во. Возьмём любой числовой определитель n -го порядка, не равный нулю

.

 

Возьмём любую точку  и сформулируем для уравнения (21) n задач Коши, причём начальные условия в точке x0 для i-ой задачи возьмём из i-го столбца этого определителя:

Ln(y1) = 0;

Ln(y2) = 0;

Ln(yn) = 0;

Пусть y1(x), y2(x), …, yn(x) - решения этих задач. Эта система линейно независима на (a, b), так как её определитель Вронского в точке x0 равен взятому числовому определителю и отличен от нуля, следовательно, это фундаментальная система решений. Теорема доказана.

 Итак, мы доказали, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами равна n, и базисом в этом пространстве служит любая фундаментальная система решений. Общее решение такого уравнения равно линейной комбинации функций из фундаментальной системы решений. Остаётся вопрос - как находить фундаментальную систему решений; оказывается, что в общем случае это возможно только в случае уравнения с постоянными коэффициентами. Мы займёмся этим дальше; предварительно рассмотрим ещё ряд свойств решений однородного уравнения.

 Интегрирование дифференциального уравнения геометрически означает нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением поля. На рисунке справа изображено поле направлений, определяемое уравнением , и три интегральные кривые (три частных решения) этого уравнения. Решение можно провести через любую точку области D; единственное решение можно выделить, если задать точку, через которую проходит интегральная кривая: .
Частный случай теоремы Г.Монжа