ПРИМЕР
. Решить 
Решение. Чтобы найти частное решение, нужно найти
и реализовать НУ. Согласно теореме
. ОЛДУ решено ранее (см. пример
11), 
,
поэтому 
,
; 
– ФСР ОЛДУ.
Найдем 
методом вариации произвольных постоянных, т.е. 
, где 
.
Подчеркнем тот факт, что метод вариации произвольных постоянных изложен
для приведенного ОЛДУ (коэффициент 
перед 
равен единице, 
). Правило
расстановки пределов. В пределах внутреннего интеграла (интеграла по первой
переменной) в общем случае стоят функции второй переменной.
Систему относительно 
и 
удобно решать методом Крамера 
,
;
поэтому
и 
;
;
и
.
Окончательно получаем
;
или 
(здесь слагаемое 
, 
– произвольная постоянная, "поглощает" слагаемое
). Видим, что 
можно было угадать (подобрать) с существенно
меньшими выкладками.
Совокупность функций 
, 
, является решением СДУ (1), если подстановка их в уравнение
(1) превращает каждое уравнение в тождество на 
. Очевидно, что решение СДУ должно состоять
из непрерывных и соответствующее раз дифференцируемых на функций 
, 
, . Всякая СДУ, как правило, имеет бесконечное множество
решений.
Например, (*) 
– СДУ третьего порядка записана в общем виде; ее решение
, 
.
Если СДУ в общем виде (1) может быть разрешена относительно старших производных неизвестных функций
,
(2)
то полученное представление СДУ в виде (2) называется канонической
формой записи СДУ. Например, СДУ (*) может быть представлена в канонической форме:
,
и три интегральные кривые (три частных решения) этого уравнения. Решение можно
провести через любую точку области D; единственное решение можно выделить, если
задать точку, через которую проходит интегральная кривая: 
.