Кривая линия общего вида Комплексный чертеж Законы проекционной связи Поверхность вращения Пересечение геометрических фигур Построить сечение пирамиды Метод концентрических сфер

Математика примеры решения задач типового расчета

ПРИМЕР . Решить 

Решение. Чтобы найти частное решение, нужно найти  и реализовать НУ. Согласно теореме . ОЛДУ решено ранее (см. пример 11), ,
поэтому ,  – ФСР ОЛДУ.

Найдем   методом вариации произвольных постоянных, т.е. , где  .

Подчеркнем тот факт, что метод вариации произвольных постоянных изложен для приведенного ОЛДУ (коэффициент  перед  равен единице, ). Правило расстановки пределов. В пределах внутреннего интеграла (интеграла по первой переменной) в общем случае стоят функции второй переменной.

Систему относительно  и  удобно решать методом Крамера ,

;

поэтому  и ;

;

  и

.

Окончательно получаем

  или  (здесь слагаемое ,  – произвольная постоянная, "поглощает" слагаемое ). Видим, что  можно было угадать (подобрать) с существенно меньшими выкладками.

Совокупность функций , , является решением СДУ (1), если подстановка их в уравнение (1) превращает каждое уравнение в тождество на . Очевидно, что решение СДУ должно состоять из непрерывных и соответствующее раз дифференцируемых на  функций , , . Всякая СДУ, как правило, имеет бесконечное множество решений.

Например, (*)  – СДУ третьего порядка записана в общем виде; ее решение .

Если СДУ в общем виде (1) может быть разрешена относительно старших производных неизвестных функций

,  (2)

то полученное представление СДУ в виде (2) называется канонической формой записи СДУ. Например, СДУ (*) может быть представлена в канонической форме:

 Интегрирование дифференциального уравнения геометрически означает нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением поля. На рисунке справа изображено поле направлений, определяемое уравнением , и три интегральные кривые (три частных решения) этого уравнения. Решение можно провести через любую точку области D; единственное решение можно выделить, если задать точку, через которую проходит интегральная кривая: .
Частный случай теоремы Г.Монжа