Кривая линия общего вида Комплексный чертеж Законы проекционной связи Поверхность вращения Пересечение геометрических фигур Построить сечение пирамиды Метод концентрических сфер

Математика примеры решения задач типового расчета

СДУ имеет нормальную форму записи, если удается записать ее уравнения в виде, разрешенном относительно первых производных неизвестных функций

. (3)

Если СДУ задана в канонической форме, то ее можно записать в нормальной форме, обозначив производные искомых функций через дополнительные неизвестные функции.

Например, обозначая , СДУ (*) можно записать в
виде   – нормальная форма записи СДУ.

Всякую СДУ в нормальной форме удобно представлять векторно-дифференциальным уравнением

,  (4) Вычислить интеграл где L - пробегаемая в положительном направлении окружность радиуса 2 с центром в начале координат.

где  есть вектор из неизвестных функций;  – вектор производных неизвестных функций,  – вектор-функция правых частей СДУ (3). Заметим, что независимую переменную  можно рассматривать как время и обозначать дифференцирование по
времени через .

ПРИМЕР 1. Привести к нормальной форме записи систему, состоящую из одного дифференциального уравнения

.

Решение. Обозначим ; ;  , .
Тогда ДУ запишется в виде , получаем СДУ в нормальной форме

  или ,

где ;

.

Итак, ДУ -го порядка, разрешенное относительно старшей производной, эквивалентно СДУ в нормальной форме, состоящей из  ДУ (порядок СДУ в нормальной форме совпадает с количеством ДУ в ней).

 Пример: найти общее решение уравнения .

 Решение: это линейное однородное уравнение, нахождение его общего решения означает нахождение фундаментальной системы решений. Как уже упоминалось, в общем случае нахождение фундаментальной системы решений возможно только для уравнения с постоянными коэффициентами, однако в некоторых случаях удаётся найти частные решения, исходя из структуры уравнения. В рассматриваемом случае в коэффициенты уравнения входят степени x и ln x, поэтому можно попытаться искать частное решение в виде y = xk или y = ln x. Предположим, что уравнение имеет частное решение вида y1 = xk. Тогда ; после подстановки этих выражений в уравнение получим , . Уравнение удовлетворяется, если  это имеет место только при k = 1. Итак, функция y1(x) = x - частное решение этого уравнения. Для нахождения второго частного решения, линейно независимого с первым, приведём уравнение к виду с коэффициентом при старшей производной, равным единице: ,

и воспользуемся формулой :

.

Итак, фундаментальная система решений этого уравнения: y1(x) = x, y2(x) = ln x, общее его решение y(x) = C1 x + C2 ln x.

 Интегрирование дифференциального уравнения геометрически означает нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением поля. На рисунке справа изображено поле направлений, определяемое уравнением , и три интегральные кривые (три частных решения) этого уравнения. Решение можно провести через любую точку области D; единственное решение можно выделить, если задать точку, через которую проходит интегральная кривая: .
Частный случай теоремы Г.Монжа