Кривая линия общего вида Комплексный чертеж Законы проекционной связи Поверхность вращения Пересечение геометрических фигур Построить сечение пирамиды Метод концентрических сфер

Математика примеры решения задач курсового расчета

  Задача КОШИ для СДУ в нормальной форме

При рассмотрении прикладной задачи, требующей решения СДУ, как правило, интересует единственное решение. Поэтому нужно уметь выделять из бесконечного множества решений СДУ требуемое решение. Одним из способов этого является требование: найти
такое решение ,  СДУ, соответствующая интегральная кривая которого проходит через точку ; это условие формулируют в следующем виде.

ЗАДАЧА КОШИ. Найти решение СДУ  здесь  – начальные условия (сокр. НУ), .

Используя теорию обыкновенных дифференциальных уравнений, можно утверждать, что ЗАДАЧА КОШИ для СДУ не всегда имеет решение; решение может существовать, но быть неединственным. Достаточные условия существования единственного решения задачи Коши устанавливаются теоремами существования. Приведем
одну из них; условия теоремы легко проверяются, но, в общем-то, грубые (жесткие).

ТЕОРЕМА (существования единственного решения задачи Коши СДУ)

Если 1) вектор-функция  непрерывна в области ,  – открытая область, ;

 2)    – непрерывная функция в ,

то для   и  можно указать окрестность ,
на которой существует единственное решение задачи Коши  т.е. через каждую точку  проходит единственная интегральная кривая СДУ при .

При выполнении условий теоремы изменением вектора  получим бесконечное ""-параметрическое семейство решений , где  – вектор с произвольными постоянными коэффициентами.

Вектор-функцию , , называют общим решением в области  СДУ , если

  – решение СДУ, т.е. ;

НУ , ,  :  –
решение СДУ, удовлетворяющее НУ, т.е. .

Всякое решение СДУ, получающееся из общего решения этой системы при конкретном значении вектора , является частным решением СДУ.

Дифференциалы высших порядков также определяются индуктивно: дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции называется дифференциал от её первого дифференциала; дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от второго дифференциала; и вообще, дифференциалом n-го порядка функции называется дифференциал от её n-1-го дифференциала
Частный случай теоремы Г.Монжа