Кривая линия общего вида Комплексный чертеж Законы проекционной связи Поверхность вращения Пересечение геометрических фигур Построить сечение пирамиды Метод концентрических сфер

Математика примеры решения задач курсового расчета

Сведение СДУ к одному ДУ

Запишем СДУ  в координатной форме

.

Предположим, что все функции  имеют непрерывные производные по всем аргументам в .

Рассмотрим схему исключения неизвестных функций и сведение СДУ к одному ДУ относительно, например, неизвестной функции . Предположим, что СДУ имеет решение  и  на , т.е. каждое из уравнений СДУ – тождество на  и его можно дифференцировать.

Дифференцируя в силу уравнений СДУ тождество  по , т.е. используя другие равенства СДУ, получим

.

Обозначим полученную в правой части функцию через  и запишем

.

Дифференцируя тождество, соответствующее этому дифференциальному уравнению, в силу уравнений СДУ получим

.

Продолжая этот процесс, сможем выразить

.

В результате приходим к системе

  (7)

Если из первых  уравнений этой системы сможем выразить функции  через , то, подставив их значения в последнее уравнение, получим ДУ ""-го порядка относительно неизвестной функции .

Достаточное условие разрешимости системы (7) относительно  формулируется через необращение в ноль в области  якобиана

.

Понижение порядка линейного однородного уравнения, если известно одно его частное решение. Пусть для линейного уравнения

известно частное решение y1(x). Заменой y(x) = z(x) y1(x), это уравнение может быть преобразовано в уравнение, допускающее понижение порядка. Продемонстрируем эту идею на примере уравнения второго порядка . Пусть y1(x) - частное решение этого уравнения, т.е. . Перейдём к переменной z(x), связанной с y(x) соотношением y(x)=z(x)y1(x). Тогда ; подставляем эти выражения в уравнение:

 

Последнее уравнение не содержит явно неизвестную функцию z(x), поэтому допускает понижение порядка. В рассматриваемом случае уравнения второго порядка получим линейное уравнение первого порядка, которое решается:

Можно доказать, что вронскиан системы функций  равен , т.е. отличен от нуля и, следовательно, функции y1(x), y2(x) образуют фундаментальную систему решений. Можно, однако, наоборот, получить выражение для y2(x) исходя из этого значения вронскиана, следующего их формулы Лиувилля. Запишем формулу Лиувилля так

. Поделив это выражение на y1(x), (y1(x))2, получим . Выражение слева - производная дроби , поэтому . Интегрируем: , , и так как мы ищем решение y2(x), линейно независимое с y1(x), то берём .

Дифференциалы высших порядков также определяются индуктивно: дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции называется дифференциал от её первого дифференциала; дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от второго дифференциала; и вообще, дифференциалом n-го порядка функции называется дифференциал от её n-1-го дифференциала
Частный случай теоремы Г.Монжа