Кривая линия общего вида Комплексный чертеж Законы проекционной связи Поверхность вращения Пересечение геометрических фигур Построить сечение пирамиды Метод концентрических сфер

Математика примеры решения задач курсового расчета

Сведение СДУ к одному ДУ

ПРИМЕР 4. Свести СДУ  к одному ДУ. Решить ДУ. Записать СДУ и решение СДУ в векторной и векторно-матричной формах.

Решение. Обозначим . Тогда СДУ запишется в векторно-матричной форме , где  – матрица коэффициентов.

Правые части уравнений СДУ являются линейными функциями относительно , поэтому непрерывны и дифференцируемы всюду.

Дифференцируем по  последовательно первое уравнение в силу уравнений СДУ и получаем

;

 

или систему

Из первых двух уравнений находим значения  и , их подставляем в третье уравнение

.

Получаем однородное линейное дифференциальное уравнение (ОЛДУ) третьего порядка . Его характеристическое уравнение  имеет действительные корни . Поэтому общее решение этого ДУ запишется , здесь  – произвольные постоянные. Вычислив теперь  и , найдем

  ,

аналогично .

Итак, общее решение СДУ запишется в виде

или в векторной форме  или

, где  – векторно-матричная форма записи ответа.

Здесь , где   – фундаментальная матрица исходной СДУ.

Заметим, что не всякую СДУ можно свести к одному ДУ.
Например, для СДУ   или  не удается
исключить переменную; очевидно, .

 Примеры:

.

Характеристическое уравнение k2 + 4 k - 5 = 0. Его корни  k2 = 1. Фундаментальная система решений y1(x) = e -5x, y2(x) = e x, общее решение y(x) = C1 e -5x + C2ex.

.

Характеристическое уравнение 16k2 - 40 k + 73 = 0. Его корни . Фундаментальная система решений , общее решение .

.

Характеристическое уравнение 64k2 + 112 k + 49 = 0. Его корни . Фундаментальная система решений , общее решение .

.

Это уравнение 7-го порядка, его характеристическое уравнение k 7 + 2k 6 + 8k 4 +16k 3 = 0. Преобразуем его левую часть: k 3 (k 4 + 2 k 3 + 8 k + 16) = k 3 [k 3 (k + 2) + 8(k + 2)] = k 3 (k + 2)( k 3 + 8) = 

= k 3 (k + 2)( k + 2)( k 2 -2 k + 4) = k 3 (k + 2)2 (k 2 - 2 k + 4). Корни: k1,2,3 = 0, k4,5 = -2, .

Фундаментальная система решений y1 = e 0 x = 1, y2 = xe 0 x = x, y2 = x2e 0 x = x2, y4 = e -2 x, y5 = xe -2 x, общее решение .

Дифференциалы высших порядков также определяются индуктивно: дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции называется дифференциал от её первого дифференциала; дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от второго дифференциала; и вообще, дифференциалом n-го порядка функции называется дифференциал от её n-1-го дифференциала
Частный случай теоремы Г.Монжа