Кривая линия общего вида Комплексный чертеж Законы проекционной связи Поверхность вращения Пересечение геометрических фигур Построить сечение пирамиды Метод концентрических сфер

Математика примеры решения задач курсового расчета

Метод интегрируемых комбинаций

ПРИМЕР 6.  – СДУ второго порядка сводится к ДУ , откуда   и из первого уравнения , т.е.  – общее решение СДУ.

Рассмотрим функцию , для нее при  и  имеем

 – const, т.е. на каждом решении СДУ –const и поэтому   – первый интеграл рассматриваемой СДУ. Получить это соотношение можно было сведением СДУ к ДУ  и последующим интегрированием.

Если сложить уравнения СДУ , то выявляется
интегрируемая комбинация , или , или . Покажем, что здесь тоже первый интеграл СДУ. Математика лекции и задачи Общий принцип интегрального исчисления : формулы Грина, Стокса, Остроградского – Гаусса, Ньютона – Лейбница позволяют интегралы по некоторой пространственной области заменить на интегралы взятые по границам этой области.
Для этого рассмотрим значение функции  на
решениях СДУ. При   и  имеем

  – const. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва Пусть функция f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности.

Естественно, что если решения СДУ уже известны, то находить ее первые интегралы может быть и нецелесообразно. В процессе решения СДУ знание каждого первого интеграла помогает понизить порядок СДУ на единицу, а знание точно   независимых первых интегралов СДУ позволяет считать СДУ решенной, ее решения записаны в неявной форме.

Полезна следующая теорема:

соотношение ,  – const, является первым интегралом СДУ  тогда и только тогда, когда производная по  функции  в силу уравнений СДУ тождественно равна нулю
на .

Для примера 6 имеем

;

  ,

причем якобиан , поэтому общий интеграл СДУ ПРИМЕРА 6 запишется в виде  
Если разрешить относительно  и   эту систему и преобразовать, то можем получить общее решение в ранее найденной форме.

 6. .

, . m = 3, число  не является корнем характеристического уравнения, поэтому yчн(x) = e2x (Ax3 + Bx2 + Dx + E). Дальнейшие выкладки опускаем.

  Пример на применение общего правила:

 7. .

, yoo = e3x(C1 cos 2x + C2 sin 2x). Правая часть состоит из двух слагаемых, притом структура этих слагаемых различна: второе содержит функцию e3x, первое - нет (более точно, первое содержит функцию e0x = 1), поэтому мы должны искать два частных решения (т.е. воспользоваться теоремой 14.5.9.2 о наложении решений). Ищем первое частное решение, удовлетворяющее уравнению

.

Запишем правую часть как f(x) = (75x2 – 86x + 18) sin 2x = e0x[0 cos 2x + (75x2 – 86x + 18) sin 2x ]. Здесь  число s0 не является корнем характеристического уравнения (r = 0), m = max(m1, m2) = 2 (это означает, что в качестве коэффициентов и при sin 2x, и при cos 2x мы должны взять многочлены второй степени, несмотря на то, что cos 2x в функции f(x) отсутствует), поэтому yчн,1(x) = е0x[(Ax2 + Bx + D) cos 2x + (Ex2 + Fx + G) sin 2x] = (Ax2 + Bx + D) cos 2x + (Ex2 + Fx + G) sin 2x. Находим производные этой функции и подставляем в уравнение:

(2A+8Ex+4F-4Ax2-4Bx-4D)cos2x+(2E-8Ax-4B-4Ex2-4Fx-4G)sin2x-

-6[(2Ax+B+2Ex2+2Fx+2G)cos2x+[(2Ex+F-2Ax2-2Bx-2D)sin2x]+13[(Ax2 + Bx + D) cos 2x + (Ex2 + Fx + G) sin 2x]=

= (75x2 -86 x + 18) sin 2x

Дифференциалы высших порядков также определяются индуктивно: дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции называется дифференциал от её первого дифференциала; дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от второго дифференциала; и вообще, дифференциалом n-го порядка функции называется дифференциал от её n-1-го дифференциала
Частный случай теоремы Г.Монжа