Математика примеры решения задач курсового расчета

Симметричная форма записи СДУ

СДУ в нормальной форме  может быть представлена в виде , симметричном относительно переменных. Так, например, симметричная форма записи СДУ

используется для описания векторных линий  векторного
поля  – вектор-функции точки пространства переменных , , . Тройной интеграл Математика лекции и задачи

Решение СДУ в симметричной форме иногда может быть проведено методом интегрируемых комбинаций на основе свойств равных отношений: если , то для любых чисел (не равных нулю одновременно)  имеет место соотношение

.

ПРИМЕР 7. Решить СДУ .

Решение. Здесь записана в симметричной форме автономная СДУ третьего порядка   Переменные , ,  в записи равноценны (симметричны) в том смысле, что для нахождения первых интегралов исходной СДУ придется решать два дифференциальных уравнения относительно , ,  и при этом безразлично, какую переменную из них удобней взять в качестве аргумента.

Используя свойство равных отношений, можно записать

, то возможно лишь при , т.е.  – найден первый интеграл СДУ. Понизим порядок СДУ, полагая ,  или  – ДУ первого порядка. Проведем замену переменной  и соответственно , получим  или . Отсюда  – еще один первый интеграл СДУ.
Линейная независимость первых интегралов проверяется

в области существования уравнений системы.

комплексные корни. В этом случае , где . Мы должны доказать, что функции   удовлетворяют уравнению. Находим:

, подставляем в уравнение:

  Рассмотрим по отдельности коэффициенты при  и при : , . Итак, , т.е. функция  - действительно решение уравнения. Аналогично доказывается, что и функция  - решение уравнения. Якобиан этой системы функций:

, т.е. это - фундаментальная система решений. Общее решение уравнения (36) в этом случае - .