Кривая линия общего вида Комплексный чертеж Законы проекционной связи Поверхность вращения Пересечение геометрических фигур Построить сечение пирамиды Метод концентрических сфер

Математика примеры решения задач курсового расчета

Симметричная форма записи СДУ

СДУ в нормальной форме  может быть представлена в виде , симметричном относительно переменных. Так, например, симметричная форма записи СДУ

используется для описания векторных линий  векторного
поля   – вектор-функции точки пространства переменных , , . Тройной интеграл Математика лекции и задачи

Решение СДУ в симметричной форме иногда может быть проведено методом интегрируемых комбинаций на основе свойств равных отношений: если , то для любых чисел (не равных нулю одновременно)  имеет место соотношение

.

ПРИМЕР 7. Решить СДУ .

Решение. Здесь записана в симметричной форме автономная СДУ третьего порядка   Переменные , ,  в записи равноценны (симметричны) в том смысле, что для нахождения первых интегралов исходной СДУ придется решать два дифференциальных уравнения относительно , ,  и при этом безразлично, какую переменную из них удобней взять в качестве аргумента.

Используя свойство равных отношений, можно записать

, то возможно лишь при , т.е.  – найден первый интеграл СДУ. Понизим порядок СДУ, полагая ,  или  – ДУ первого порядка. Проведем замену переменной  и соответственно , получим  или . Отсюда  – еще один первый интеграл СДУ.
Линейная независимость первых интегралов проверяется

в области существования уравнений системы.

комплексные корни. В этом случае , где . Мы должны доказать, что функции   удовлетворяют уравнению. Находим:

, подставляем в уравнение:

  Рассмотрим по отдельности коэффициенты при  и при : , . Итак, , т.е. функция  - действительно решение уравнения. Аналогично доказывается, что и функция  - решение уравнения. Якобиан этой системы функций:

, т.е. это - фундаментальная система решений. Общее решение уравнения (36) в этом случае - .

Дифференциалы высших порядков также определяются индуктивно: дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции называется дифференциал от её первого дифференциала; дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от второго дифференциала; и вообще, дифференциалом n-го порядка функции называется дифференциал от её n-1-го дифференциала
Частный случай теоремы Г.Монжа