Дифференцируемость ФНП Дифференциалы высших порядков Дифференцирование сложной ФНП Вычисление интеграла Типовые задачи Вычисление объема тела Вычисление криволинейных интегралов

Математика примеры решения задач курсового расчета

Предел, непрерывность ФНП

ПРИМЕР 8. Показать, что функция   непрерывна в точке  по каждой координате  и , но не является непрерывной в точке  по совокупности переменных.

Решение. При  имеем

и ,

аналогично при  .

Производная степенной функции с любым действительным показателем Производные порядка выше первого называются производными высших порядков. Примеры.    Найти у''' для функции y = cos2x.

Поскольку  – зависит от , т.е. Интегралы и их приложения Пример Найти Математика лекции и задачи
не существует, то по совокупности переменных  не является непрерывной в точке .

Для ФНП   – непрерывной в точке  имеем:

ограниченность функции в некоторой окрестности точки;

сохранность знака функции в некоторой окрестности точки , если ;

выполнимость теоремы "об арифметике функций", непрерывных в одной и той же точке;

непрерывность сложной ФНП  в точке , если , где , непрерывна в точке , и  непрерывна в точке .

Функция   непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества. Свойства ФНП, непрерывной на ограниченном связном замкнутом множестве, формулируются аналогично соответствующим свойствам ФОП, непрерывной на замкнутом отрезке.

Понятие точки разрыва ФНП  вводится как отрицание понятия "непрерывность в точке  функции ".

ПРИМЕР 9. Для  точка  не является точкой непрерывности функции, т.е. является точкой
разрыва функции, причем   и функция не является ограниченной в окрестности точки .

ПРИМЕР 10. Для функции  всякая
точка на оси   или на оси  является точкой разрыва, причем в окрестности такой точки  ограничена.

Классификация точек разрыва функции двух и более аргументов не проводится. Поведение ФНП в окрестности точки определяется предельным поведением функции   при приближении  к
предельной точке .

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Изучить покоординатную непрерывность и непрерывность по
совокупности переменных для функции 

  в точке .

Изучить поведение функции ,  в окрестности точек ,  и .

Вычислить пределы:

а)   и б) .

Ответы. 1. В точке  функция является непрерывной по  и
непрерывной по , но не является непрерывной по совокупности переменных.

2. Точка   – точка разрыва функции  и в окрестности точки функция неограничена; в точке  функция непрерывная (по совокупности переменных); всякая точка прямой  является точкой разрыва функции и  неограничена в окрестности такой точки, в том числе и для точки .

3. а) ; применяем теорему о произведении бесконечно
малой функции на ограниченную функцию;

 б) ; применяем второй замечательный предел.

Производные высших порядков. Формула Лейбница. Пусть функция   имеет производную y'(x) в каждой точке интервала (а,b). Функция y'(x) тоже может иметь производную в некоторых точках этого интервала. Производная функции y'(x) называется второй производной (или производной второго порядка) функции и обозначается .
Итегралы вычисление площади и обьема