Кривая линия общего вида Комплексный чертеж Законы проекционной связи Поверхность вращения Пересечение геометрических фигур Построить сечение пирамиды Метод концентрических сфер

Математика примеры решения задач курсового расчета

Достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для СДУ вида

,  (8)

где ,  – функциональная матрица,  – функциональный вектор, , называется системой неоднородных линейных дифференциальных уравнений (сокр. СНЛДУ).

Естественно предполагать, что все функции, входящие в СДУ, непрерывны на некотором общем интервале, . Тогда по теореме существования единственного решения задачи Коши  для  и  – произвольного -мерного постоянного вектора, , найдется окрестность , на которой СДУ (8) имеет единственное решение, соответствующее задаче Коши. Доказано, что  может быть любым из  и решение продолжаемо на весь интервал непрерывности всех функций  и . Поэтому впредь СНЛДУ будем рассматривать для . Двойной интеграл Математика лекции и задачи

При   СНЛДУ превращается в систему однородных
линейных дифференциальных уравнений (сокр. СОЛДУ) вида

.

Если матрица  состоит из чисел, то СДУ соответственно
имеют постоянные коэффициенты и называются

  – СНЛДУ п/к;

 – СОЛДУ п/к.

Заметим, что для СОЛДУ п/к  интервал существования решений есть вся числовая ось, .

Восстановление линейного однородного уравнения по фундаментальной системе решений. Пусть дана система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) с отличным от нуля на отрезке (a, b) вронскианом W(x). Требуется составить линейное однородное уравнение, у которого фундаментальная система решений состоит из функций y1(x), y2(x), …, yn(x).

Математический анализ – совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций методами дифференциального и интегрального исчислений. Основателями этой дисциплины являются английский учёный И. Ньютон (1643–1727) и немецкий учёный Г. Лейбниц (1646–1716). Дальнейшее развитие математический анализ получил в работах таких известных математиков, как Я. Бернулли (1654–1705), И. Бернулли (1667–1748), Б. Тейлор (1685–1731), Л. Эйлер (1707–1783), Ж. Лагранж (1736–1813), Ж. Фурье (1768–1830), О. Коши (1789–1857), К. Якоби (1804–1851), К. Вейерштрасс (1815–1897), Б. Риман (1826–1866), М. Жордан (1838–1922), Г. Кантор (1845–1918) и многих других. Классическая часть современного математического анализа окончательно сформировалась к началу XX столетия. Эта часть анализа преподаётся на первых двух курсах университетов и входит (целиком или в значительной части) в программы всех технических вузов у нас в стране и за рубежом.

 Эта задача решается просто. Так как общее решение этого уравнения должно быть равно

y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x), система функций y(x), y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависима, поэтому её определитель Вронского (имеющий порядок n + 1) должен быть равен нулю:

  Раскрывая этот определитель по первому столбцу, получим искомое уравнение. Пример: составить линейное уравнение, у которого фундаментальная система решений равна  y1(x) = cos x, y2(x)= x3. Решение:

Заметим, что коэффициент при старшей производной оказывается равным вронскиану фундаментальной система решений:  Дальнейшие преобразования дают , или . Это и есть искомое уравнение. Его коэффициенты непрерывны на любом интервале, на котором .

Дифференциалы высших порядков также определяются индуктивно: дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции называется дифференциал от её первого дифференциала; дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от второго дифференциала; и вообще, дифференциалом n-го порядка функции называется дифференциал от её n-1-го дифференциала
Частный случай теоремы Г.Монжа