Кривая линия общего вида Комплексный чертеж Законы проекционной связи Поверхность вращения Пересечение геометрических фигур Построить сечение пирамиды Метод концентрических сфер

Математика примеры решения задач курсового расчета

Достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для СДУ вида

Свойства решений СОЛДУ Пределы и непрерывность функции

, , . (9)

Обозначим через  множество всех решений СОЛДУ

, ,

и сформулируем свойства этого множества.

Утверждение 1. Множество  – линейное пространство.

В самом деле, сумма любых двух решений СОЛДУ (9) есть
решение этой же системы; умножение всякого решения на число приводит снова к решению системы. Аксиомы линейности для пространства  легко проверяются; нулевым элементом пространства   является тривиальное решение СОЛДУ (9) . Математика лекции и задачи Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен. Основные идеи заключаются в выделении в квадратном трехчлене полного квадрата и в проведении линейной замены, позволяющей свести исходный интеграл к табличным вида

Утверждение 2. Пространство  изоморфно пространству ;
размерность   равна .

В самом деле, для ; отображение  – гомоморфизм, поскольку операции сложения решений СОЛДУ (9) и умножение решения на число приводят к этим же действиям над образами решений в . Обратное отображение реализуется с помощью решения задачи Коши для СОЛДУ  и в силу линейности операций дифференцирования и интегрирования вектор-функции также определяют гомоморфизм. Итак, рассмотренное отображение взаимно однозначное и гомоморфное, поэтому изоморфное. Размерности изоморфных пространств совпадают.

Произвольные вектор-функции , называются линейно независимыми на , если выполнение при  равенства  влечет

.

В противном случае функции  называются линейно
зависимыми на . Линейная зависимость функций  
означает, что существует ненулевой набор постоянных ,
такой, что при всех   .
Очевидно, что если   линейно зависимы на , то при каждом  векторы  также линейно зависимы.
Обратное неверно, поскольку коэффициенты  в определении линейно независимых векторов не зависят от .

Производные функций, заданных параметрически. Пусть зависимость у от х задана через параметр t: , обе эти функции дифференцируемы, и для первой из них существует обратная функция . Тогда явная зависимость у от х выражается формулой. Находим производную: .
Частный случай теоремы Г.Монжа