Кривая линия общего вида Комплексный чертеж Законы проекционной связи Поверхность вращения Пересечение геометрических фигур Построить сечение пирамиды Метод концентрических сфер

Математика примеры решения задач курсового расчета

Достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для СДУ вида

Свойства решений СОЛДУ

ПРИМЕР 8. Рассмотрим вектор-функции  и . При каждом   и  линейно зависимы, но ни одна из этих вектор-функций не получается из другой умножением на число, т.е. на  эти функции линейно независимые.

Однако, если вектор-функции  являются решениями какой-либо СОЛДУ , то линейная зависимость функций на  эквивалентна линейной зависимости их значений при любом фиксированном .

ТЕОРЕМА (о достаточном условии линейной зависимости системы решений СОЛДУ) Математика лекции и задачи Приложения определенного интеграла. Как известно, криволинейной трапецией, соответствующей неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f(x),

Если 1)    – решение ;

2) при некотором  векторы  – линейно зависимы с коэффициентами зависимости ,

то система решений СОЛДУ  линейно зависима с теми же коэффициентами зависимости .

Теоремы о пределах Если в точке а существуют пределы функций f(x) и g(x), то в этой точке существует и предел суммы f(x)±g(x),причём .

В самом деле, по условию существует ненулевой набор чисел , такой, что . Рассмотрим вектор-функцию ; она удовлетворяет СОЛДУ и соответствует НУ . Этому же условию удовлетворяет тривиальное решение СОЛДУ. Поэтому в силу единственности существования решения задачи Коши для СОЛДУ (9)  при всех , а это означает, что  – линейно зависима и .

Утверждение 3. Всякие "" линейно независимых решений СОЛДУ  образуют базис пространства .

В самом деле, пусть система вектор-функций  состоит из линейно независимых решений СОЛДУ. Тогда для каждого  векторы   линейно независимы, они образуют
базис пространства . Поэтому всякий вектор  может быть разложен по элементам этого базиса .

Возьмем произвольное решение СОЛДУ – вектор-функцию  и ее значение в точке  разложим по базису , т.е. .

Здесь 1)  – решения СОЛДУ на ;

2) при   векторы  – линейно зависимы с коэффициентами зависимости . По теореме о достаточном условии линейной зависимости системы решений
СОЛДУ  вектор-функции  также линейно зависимы с теми же коэффициентами зависимости. Поэтому имеем , т.е. произвольное решение  разложено по вектор-функциям  – базису пространства .

Всякий базис пространства всех решений СОЛДУ  называется фундаментальной системой решений (ФСР) СОЛДУ. Матрица, столбцы которой являются ФСР, называется фундаментальной матрицей СОЛДУ .

Производные функций, заданных параметрически. Пусть зависимость у от х задана через параметр t: , обе эти функции дифференцируемы, и для первой из них существует обратная функция . Тогда явная зависимость у от х выражается формулой. Находим производную: .
Частный случай теоремы Г.Монжа