Кривая линия общего вида Комплексный чертеж Законы проекционной связи Поверхность вращения Пересечение геометрических фигур Построить сечение пирамиды Метод концентрических сфер

Математика примеры решения задач курсового расчета

Теорема о структуре общего решения СОЛДУ

Если   – фундаментальная система решений СОЛДУ  на , то ее общее решение имеет вид , где  – произвольные числа.

В самом деле, имеем

  ,  – решение СОЛДУ;

НУ  , ,  существует единственный набор чисел  решений системы , ее определитель не равен нулю, причем решение  удовлетворяет НУ: . Векторный анализ. Поверхностные интегралы. Теория поля. Математика лекции и задачи

ПРИМЕР 9. Проверить, что  и  являются линейно независимыми решениями СОЛДУ , . Записать общее решение системы.

Решение. Подставляем  в систему, получаем слева , справа , т.е.  удовлетворяет уравнениям системы. Аналогично проверяется .

Метод замены переменной Вычислить интеграл Решение задач на вычисление интеграла Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания

Линейная комбинация чисел  и  с решениями имеет вид , т.е.  – система двух линейно независимых решений – базис множества всех решений СДУ. Поэтому ее общее решение запишется в виде

.

Формула Лиувилля.

Теорема 14.5.6.1. Определитель Вронского системы y1(x), y2(x), …, yn(x) решений однородного уравнения удовлетворяет уравнению , где p1(x) - коэффициент при n - 1 производной.

Док-во. Докажем эту теорему для уравнения второго порядка . Пусть y1(x), y2(x) - частные решения этого уравнения, тогда , .

Так как y1(x), y2(x) - решения уравнения, то

,

.

Умножим первое из этих уравнений на - y2(x), второе - на y1(x) и сложим:

. В первой из квадратных скобок стоит W(x), во второй - , поэтому , что и требовалось доказать.

 Для доказательства этой теоремы в общей случае надо знать правило дифференцирования функциональных определителей: производная определителя n-го порядка равна сумме n определителей, которые получаются из исходного определителя построчным дифференцированием. Для определителя Вронского

 

так как первые n - 1 определитель содержат равные строки и равны нулю. Каждая из функций y1(x), y2(x), …, yn(x) удовлетворяет уравнению ; поэтому, поставив эти выражения в последнюю строку и пользуясь свойствами определителей, получим

т.е. .

 Решим это уравнение относительно W(x). Функция W(x) = 0 является решением этого уравнения; если , то  Интегрируем последнее выражение в пределах от x0 до x:  

  (Мы отбросили знак модуля у дроби, так как W(x) - непрерывная функция, не обращающаяся в нуль, поэтому значения W(x) и W(x0) всегда имеют один знак). Окончательно

.  (28)

Формула (28)называется формулой Лиувилля. Из неё также следуют результаты предыдущих разделов: если W(x0) = 0, то ; если , то  ни в одной точке интервала (a, b).

Производные функций, заданных параметрически. Пусть зависимость у от х задана через параметр t: , обе эти функции дифференцируемы, и для первой из них существует обратная функция . Тогда явная зависимость у от х выражается формулой. Находим производную: .
Частный случай теоремы Г.Монжа