Кривая линия общего вида Комплексный чертеж Законы проекционной связи Поверхность вращения Пересечение геометрических фигур Построить сечение пирамиды Метод концентрических сфер

Математика примеры решения задач курсового расчета

Некоторые свойства матриц ФСР СОЛДУ

Определитель матрицы , составленной из произвольных решений СОЛДУ  -го порядка, называется определителем Вронского и обозначается

.

Справедлива формула Лиувилля

,  (10)

здесь  – определитель Вронского,  – произвольная точка интервала непрерывности матрицы  СОЛДУ;  – след матрицы. Задача о массе поверхности. Пусть на гладкой поверхности z = z(x,y) распределена масса с поверхностной плотностью = f(x,y,z). Математика лекции и задачи

ОБОСНОВАНИЕ: продифференцируем определитель  по , пользуясь правилом дифференцирования определителя , где , – определитель, отличающийся от   -й строкой, в которой вместо функций  записаны их производные по : . Поскольку определитель Вронского  состоит из решений СОЛДУ, то для каждого

;

  и т.д.

Поэтому каждый определитель , можно представить в виде суммы определителей

,

где  – определитель, в котором при  элементы -й строки совпадают с соответствующими элементами -й строки, т.е. при   и .

Таким образом, окончательно получаем

  или  –

Пример Вычислить двойной интеграл , в котором область интегрирования R ограничена прямыми линиями . Решение задач на вычисление интеграла Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания

дифференциальное уравнение относительно . Берем произвольное  – интервал непрерывности матрицы  и интегрируем . Отсюда следует формула Лиувилля.

Замечание. Из формулы Лиувилля имеем, что если в некоторой точке   , то и  . Если же , то  .

Если решения , из которых составлен определитель Вронского , линейно зависимы, то  на . Из формулы (10) видим, что в этом случае утверждения:

1) [ на ]  и 2) []

эквивалентны.

Пусть матрица  составлена из некоторой ФСР СОЛДУ, т.е.  – линейно независимые решения СОЛДУ на , значит,  какая-либо фундаментальная матрица СОЛДУ.

Тогда можно сформулировать следующие свойства фундаментальных матриц СОЛДУ .

Определитель Вронского всякой фундаментальной матрицы не обращается в ноль на , т.е.  на .

Поэтому всякая фундаментальная матрица обратима, т.е. на

.

Производные функций, заданных параметрически. Пусть зависимость у от х задана через параметр t: , обе эти функции дифференцируемы, и для первой из них существует обратная функция . Тогда явная зависимость у от х выражается формулой. Находим производную: .
Частный случай теоремы Г.Монжа