Кривая линия общего вида Комплексный чертеж Законы проекционной связи Поверхность вращения Пересечение геометрических фигур Построить сечение пирамиды Метод концентрических сфер

Математика примеры решения задач курсового расчета

Некоторые свойства матриц ФСР СОЛДУ

Общее решение СОЛДУ  запишется , где  – произвольный вектор, . При этом задача Коши  имеет единственное решение , поскольку из соотношения  имеем .

Дифференцируя  в силу уравнений СОЛДУ, получаем матрично дифференциальное уравнение , которому удовлетворяет фундаментальная матрица. С помощью этого свойства можем решать задачу о восстановлении матрицы исходной
СОЛДУ по любой известной ее фундаментальной матрице: очевидно, .

4. Фундаментальная матрица  называется нормированной в точке , если ; в этом случае , здесь  – начальный вектор в точке . Если  ненормированная в точке , то ее можно пронормировать, перейти к матрице .

5. Матрица  удовлетворяет уравнению ,
поэтому является фундаментальной для СОЛДУ , причем при  она нормирована. Обычно обозначают  и называют эту матрицу матрицей Коши для СОЛДУ. Поверхностные интегралы 2 рода. Пусть через замкнутую поверхность проходит поток жидкости или тепла. Математика лекции и задачи

9.4.4. СНЛДУ , ,

ТЕОРЕМА (о структуре общего решения СНЛДУ)

Если 1)  – какая-либо ФСР СОЛДУ ;

  2)  – какое-либо решение СНЛДУ, ,

то общее решение СНЛДУ находится по формулам:

  или

. (11)

Найти интеграл . Решение. Рациональная дробь, стоящая под знаком интеграла, неправильная, так как степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе.

Здесь  – фундаментальная матрица, соответствующая ФСР СОЛДУ в условиях теоремы. Доказательство проводится аналогично обоснованию соответствующей теоремы о структуре общего решения СОЛДУ.

Для нахождения  можно пользоваться методом вариации произвольных постоянных: ищем  в виде  из СНЛДУ. Имеем , т.е.  или , поскольку . Отсюда . После интегрирования ,  – любое число . Итак,

.  (12)

Подставим значение  из (12) в (11), получим формулу
Коши для выражения общего решения СНЛДУ

.  (13)

Если  – значение аргумента для начальных условий , то  и отсюда . Получаем выражение частного решения СНЛДУ

  (14)

или

Производные функций, заданных параметрически. Пусть зависимость у от х задана через параметр t: , обе эти функции дифференцируемы, и для первой из них существует обратная функция . Тогда явная зависимость у от х выражается формулой. Находим производную: .
Частный случай теоремы Г.Монжа