Дифференцируемость ФНП Дифференциалы высших порядков Дифференцирование сложной ФНП Вычисление интеграла Типовые задачи Вычисление объема тела Вычисление криволинейных интегралов

Математика примеры решения задач курсового расчета

Частные производные ФНП

Пусть , , . Частные производные первого порядка функции  вводятся соответственно соотношениям  

и

.

ФНП дифференцируется отдельно по каждой переменной, при этом значения всех остальных переменных остаются неизменными.

ПРИМЕР 1. Найти частные производные первого порядка функции  в точке . Двойной интеграл Математика вычисление интеграла

Решение. ;

; .

ПРИМЕР 2. Пусть , . Вычислить определитель .

Решение. Поскольку ; ; ; , то получаем

. Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Приведем решение двух задач на вычисление объемов тел, рассматривая тела с различной геометрией поверхности.

Число  можно геометрически интерпретировать как угловой коэффициент касательной прямой к кривой   в точке . Аналогично интерпретируется число  . Поэтому уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке  имеет вид

.

  Теорема Если определитель Вронского W(x) системы y1(x), y2(x), …, yn(x) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения отличен от нуля в некоторой точке , то W(x) отличен от нуля в любой точке этого интервала.

 Док-во легко проводится от противного. Если предположить, что в некоторой точке  определитель Вронского равен нулю, то по предыдущей теореме он тождественно равен нулю на (a, b), что противоречит условию .

  Содержание двух предыдущих теорем можно изложить так:

 Теорема Если W(x) - определитель Вронского системы y1(x), y2(x), …, yn(x) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения, то либо  на интервале (a, b) (что означает линейную зависимость этих решений на (a, b)), либо  в любой точке этого интервала (что означает линейную независимость этих решений на (a, b)).

Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Теорема о структуре общего решения решений линейного однородного дифференциального уравнения. В этом разделе мы докажем, что базисом линейного пространства частных решений однородного уравнения может служить любой набор из n его линейно независимых решений.

фундаментальной системы решений. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка называется любая линейно независимая система y1(x), y2(x), …, yn(x) его n частных решений.

Производные высших порядков. Формула Лейбница. Пусть функция   имеет производную y'(x) в каждой точке интервала (а,b). Функция y'(x) тоже может иметь производную в некоторых точках этого интервала. Производная функции y'(x) называется второй производной (или производной второго порядка) функции и обозначается .
Итегралы вычисление площади и обьема