Математика примеры решения задач курсового расчета

Частные производные ФНП

ПРИМЕР 3. Записать уравнение касательной плоскости к поверхности   в точке .

Решение. По условию , , . Значение

.

Поэтому ; аналогично  и .

Касательная плоскость к полусфере  в точке  описывается уравнением  или  и схематично представлена на рисунке.

Для ФНП   – понятие частной производной по ,  вводится аналогично. При этом если  – функция
аргумента , то ее, в свою очередь, можно дифференцировать по ,  и получать частные производные второго порядка . Аналогично вводятся производные более высокого порядка.

ПРИМЕР 4. Найдите все частные производные второго порядка функции . Скалярное поле и его характеристики Математика вычисление интеграла

Решение. Сначала вычисляем частные производные первого порядка ,  . Затем каждую из этих производных дифференцируем еще раз по переменной  и по переменной . Получаем  – частная производная второго порядка функции  по переменной   дважды, читается "дэ два   по дэ  дважды";

 –

"смешанная" частная производная второго порядка; читается "дэ два   по дэ  и по дэ ";

;

замечаем, что здесь значение смешанной производной не зависит от порядка дифференцирования; .

Наконец, .

Справедливо УТВЕРЖДЕНИЕ:

если для функции  существуют производные , , ,  в точке  и в некоторой ее окрестности  и при этом "смешанные" производные  и  непрерывны в точке , то , т.е. значение смешанных производных функции к точке   НЕ ЗАВИСИТ от порядка дифференцирования.

Доказательство теоремы подробно изложено, например, в [1].

Заметим, что в случае невыполнения условия непрерывности смешанные производные могут не совпадать.

Утверждения, аналогичные рассмотренному, могут быть доказаны и для смешанных производных любого порядка и для функции большего чем два числа переменных.

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Какой угол образует с осью  касательная прямая к кривой ,  в точке ?

2. Записать уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке .

3. Найти ,  для .

4. Для функции  убедиться в равенстве ее смешанных производных второго порядка  и  в области их
существования.

5. Для функции  найти  и . Убедиться, что значения этих производных не зависят от порядка дифференцирования.

Ответы. 1. ; кривая – пересечение верхней части двуполостного гиперболоида и плоскости .

2. .

3. .

4. ; достаточное
условие равенства смешанных производных ФНП – их непрерывность по совокупности переменных – выполнено.

5. ; замечаем, что последовательное вычисление производной  несколько проще.