Вычислительная математика и вычислительные системы

Параллельные численные методы для решения типовых задач вычислительной математики

Быстрая сортировка

В результате выполнения такой итерации сортировки исходный набор оказывается разделенным на две части, одна из которых (со значениями меньшими, чем значение ведущего элемента) располагается на процессорах, в битовом представлении номеров которых бит  равен 0. Таких процессоров всего   и, таким образом, исходный -мерный гиперкуб также оказывается разделенным на два гиперкуба размерности . К этим подгиперкубам, в свою очередь, может быть параллельно применена описанная выше процедура. После -кратного повторения подобных итераций для завершения сортировки достаточно упорядочить блоки данных, получившиеся на каждом отдельном процессоре вычислительной системы. Для пояснения на рис. 4.11 представлен пример упорядочивания данных при , (т.е. блок каждого процессора содержит 4 элемента). На этом рисунке процессоры изображены в виде прямоугольников, внутри которых показано содержимое упорядочиваемых блоков данных; значения блоков приводятся в начале и при завершении каждой итерации сортировки. Взаимодействующие пары процессоров соединены двунаправленными стрелками. Для разделения данных выбирались наилучшие значения ведущих элементов: на первой итерации для всех процессоров использовалось значение 0, на второй итерации для пары процессоров 0, 1 ведущий элемент равен 4, для пары процессоров 2, 3 это значение было принято равным –5.

Эффективность параллельного метода быстрой сортировки, как и в последовательном варианте, во многом зависит от успешности выбора значений ведущих элементов. Определение общего правила для выбора этих значений не представляется возможным; сложность такого выбора может быть снижена, если выполнить упорядочение локальных блоков процессоров перед началом сортировки и обеспечить однородное распределение сортируемых данных между процессорами вычислительной системы.

Длительность выполняемых операций передачи данных определя­ется операцией рассылки ведущего элемента на каждой итерации сортировки - общее количество межпроцессорных обменов для этой операции на -мерном гиперкубе может быть ограничено оценкой

,

и взаимообменом частей блоков между соседними парами процессоров – общее количество таких передач совпадает с количеством итераций сортировки, т.е. равно , объем передаваемых данных не превышает удвоенного объема процессорного блока, т.е. ограничен величиной .

Вычислительная трудоемкость метода обуславливается сложностью локальной сортировки процессорных блоков, временем выбора ведущих элементов и сложностью разделения блоков, что в целом может быть выражено при помощи соотношения:

(при построении данной оценки предполагалось, что для выбора значения ведущего элемента при упорядоченности процессорных блоков данных достаточно одной операции).

Рис. 4.11. Пример упорядочивания данных параллельным методом быстрой сортировки (без результатов локальной сортировки блоков)

Многопроцессорные вычислительные системы - назначение, область применения Поэтому для организации такой системы не подойдет обыкновенный сервер со стандартной архитектурой, вполне пригодный там, где не стоит жестких требований к производительности и времени простоя. Высокопроизводительные системы для глобальных корпоративных вычислений должны отличаться такими характеристиками, как повышенная производительность, масштабируемость, минимально допустимое время простоя.

Информатика, черчение, математика