Вычислительная математика Учебно-практическая задача Пути достижения параллелизма Моделирование и анализ параллельных вычислений Каскадная схема суммирования

Процессы и ресурсы Учебно-практическая задача

Учебно-практическая задача: Решение дифференциальных уравнений в частных производных

Последовательные методы решения задачи Дирихле

Одним из наиболее распространенных подходов численного решения дифференциальных уравнений является метод конечных разностей (метод сеток) [5,11]. Следуя этому подходу, область решения  представляется в виде дискретного (как правило, равномерного) набора (сетки) точек (узлов). Так, например, прямоугольная сетка в области  может быть задана в виде (рис. 6.1)

где величина  задает количество узлов по каждой из координат области .

Обозначим оцениваемую при подобном дискретном представлении аппроксимацию функции   в точках  через . Тогда, используя пятиточечный шаблон (см. рис. 6.1) для вычисления значений производных, уравнение Пуассона может быть представлено в конечно-разностной форме

.

Данное уравнение может быть разрешено относительно

.

Разностное уравнение, записанное в подобной форме, позволяет определять значение   по известным значениям функции  в соседних узлах используемого шаблона. Данный результат служит основой для построения различных итерационных схем решения задачи Дирихле, в которых в начале вычислений формируется некоторое приближение для значений , а затем эти значения последовательно уточняются в соответствии с приведенным соотношением. Так, например, метод Гаусса-Зейделя для проведения итераций уточнения использует правило

,

по которому очередное k-ое приближение значения   вычисляется по последнему k-ому приближению значений  и и предпоследнему (k-1)-ому приближению значений и . Выполнение итераций обычно продолжается до тех пор, пока получаемые в результате итераций изменения значений  не станут меньше некоторой заданной величины (требуемой точности вычислений).

Пиковая производительность компьютера вычисляется однозначно, и эта характеристика является базовой, по которой производят сравнение высокопроизводительных вычислительных систем. Чем больше пиковая производительность, тем теоретически быстрее пользователь сможет решить свою задачу. Пиковая производительность есть величина теоретическая и, вообще говоря, не достижимая при запуске конкретного приложения.

Информатика, черчение, математика