Вычислительная математика Учебно-практическая задача Пути достижения параллелизма Моделирование и анализ параллельных вычислений Каскадная схема суммирования

Процессы и ресурсы Учебно-практическая задача

Учебно-практическая задача: Решение дифференциальных уравнений в частных производных

Последовательные методы решения задачи Дирихле

Сходимость описанной процедуры (получение решения с любой желаемой точностью) является предметом всестороннего математического анализа (см., например, [5,11]), здесь же отметим, что последовательность решений, получаемых методом сеток, равномерно сходится к решению задачи Дирихле, а погрешность решения имеет порядок .

Рис. 6.1. Прямоугольная сетка в области D (темные точки представляют внутренние узлы сетки, нумерация узлов в строках слева направо, а в столбцах - сверху вниз).

Рассмотренный алгоритм (метод Гаусса-Зейделя) на псевдокоде, приближенного к алгоритмическому языку С++, может быть представлен в виде:

 
// Алгоритм 6.1 do { dmax = 0; // максимальное изменение значений u for 
( i=1; i<N+1; i++ ) for ( j=1; j<N+1; j++ ) { temp = u[i][j]; u[i][j] = 
0.25*(u[i-1][j]+u[i+1][j]+ u[i][j-1]+u[i][j+1]–h*h*f[i][j]); dm = fabs(temp-u[i][j]); 
if ( dmax < dm ) dmax = dm; } } while ( dmax > eps ); 

(напомним, что значения  при индексах  являются граничными, задаются при постановке задачи и не изменяются в ходе вычислений).

Рис. 6.2. Вид функции  в примере для задачи Дирихле

Для примера на рис. 6.2 приведен вид функции , полученной для задачи Дирихле при следующих граничный условиях:

Общее количество итераций метода Гаусса-Зейделя составило 210 при точности решения  и  (в качестве начального приближения величин  использовались значения, сгенерированные датчиком случайных чисел из диапазона [-100,100]).

Пиковая производительность компьютера вычисляется однозначно, и эта характеристика является базовой, по которой производят сравнение высокопроизводительных вычислительных систем. Чем больше пиковая производительность, тем теоретически быстрее пользователь сможет решить свою задачу. Пиковая производительность есть величина теоретическая и, вообще говоря, не достижимая при запуске конкретного приложения.

Информатика, черчение, математика